Verifica metrica in $RR$

[alesx4567]

Saluto tutti i membri del form.
stavo facendo un esercizio di verifica di una metrica in $RR$:
$d(x,y)=abs(arctan(x)-arctan(y))$.
Vorrei chiedervi in particolare della verifica della disuguaglianza triangolare.
Io ho applicato la proprietà della disuguaglianza triangolare per i moduli cambiando di segno a uno dei due addendi in modo da semplificare $arctan(z)$.
Vorrei chiedervi (capisco che questi esercizi non abbiano un metodo univico di risoluzione e che quindi possa non esserci risposta alla mia domanda) se c'è un metodo di ragionamento privilegiato per svolgere la verifica della disuguaglianza triangolare in generale negli esercizi sulle metriche.
Grazie mille e buona serata!

[gugo82]

Beh, dai, sì... Devi provare che $|arctan x - arctan y| <= |arctan x - arctan z| + |arctan z - arctan y|$ e non mi pare proibitivo: basta usare la disuguaglianza triangolare del valore assoluto.

[xyz34567]

Ciao!
Grazie per il suggerimento, ma in realtà questo esercizio in particolare l'ho già fatto; la mia domanda era meno specifica: volevo sapere se esistono dei ragionamenti abbastanza generali per dimostrare la disuguaglianza triangolare negli esercizi di metriche (giusto per non andare totalmente allo sbaraglio al variare dell'esercizio), oltre che usare la disuguaglianza triangolare del valore assoluto.
Grazie mille!

[gugo82]

In generale no, si va caso per caso.