Verifica - Limiti di Successioni (Convergenza e Divergenza)

[Lorenzy]

Buongiorno,
Ho verificato i seguenti limiti di successioni, ma ho qualche incertezza:

$1. lim_(n->infty) root (n+1) (3)=1$

$ |3^(1/(n+1)) - 1| < epsilon ->
|3^(1/(n+1)) - 3^0| < epsilon ...$
Come procedo?

$2. lim_(n->infty) (n-4)/(3n+1)= 1/3$

$ |(n-4)/(3n+1) -1/3| < epsilon ->
n > (13-3epsilon)/(9epsilon)$

$3. lim_(n->infty) (sqrt (4+1/n)) = 2$

$ |sqrt (4+1/n) - 2|< epsilon$
$ -> n <= -1/4 vv n>0 ^^ n > 1/(epsilon(4epsilon+1))$

$4. lim_(n->infty) (n^2+2n)/(n+1) = infty$

$(n^2+2n)/(n+1) > k$
$ -> n < (n(n+2)+k)/k$

$5. lim_(n->infty) 5-n^2=-infty$

$5-n^2<-k$
$ -> n > sqrt (k+5)$

Errori?!?

[dissonance]

Per la 1, puoi cercare di dimostrare una disuguaglianza di questo tipo:
\[
|3^x-3^y|\le C|x-y|,\qquad \forall x,y\in[0,1]\]
dove \(C\) è una costante. (Questa disuguaglianza dice che \(x\mapsto 3^x\) è Lipschitziana nell'intervallo \([0, 1]\)). Una volta ottenuta questa disuguaglianza, l'esercizio si risolve subito usando la tua osservazione
\[
|3^{\frac{1}{n+1}} - 3^0|\le C\frac{1}{n+1}.\]

[Lorenzy]

"dissonance":Per la 1, puoi cercare di dimostrare una disuguaglianza di questo tipo:
\[
|3^x-3^y|\le C|x-y|,\qquad \forall x,y\in[0,1]\]
dove \(C\) è una costante. (Questa disuguaglianza dice che \(x\mapsto 3^x\) è Lipschitziana nell'intervallo \([0, 1]\)). Una volta ottenuta questa disuguaglianza, l'esercizio si risolve subito usando la tua osservazione
\[
|3^{\frac{1}{n+1}} - 3^0|\le C\frac{1}{n+1}.\]

Buongiorno dissonance,
Nelle altre verifiche hai riscontrato errori? Per quanto riguarda la prima, dobbiamo necessariamente ricorrere alla "disuguaglianza lipschitziana"? Non c'è altra strada? Inoltre, potresti spiegarmi meglio il concetto di lipschitzianità?
Grazie!

[dissonance]

Forse per la prima dovevi usare la disuguaglianza di Bernoulli, probabilmente è quella che hai visto nel corso. Quanto al resto, non ho proprio tempo di guardarlo con attenzione. Comunque vedo un paio di errori grossolani: a un certo punto scrivi $n<0$, ma n tende a $+00$, quindi puoi considerarlo positivo. Inoltre per n negativo la radice quadrata potrebbe non essere nemmeno definita. Ancora più grave è un altro errore che fai dopo, nella 4, dove alla fine della fiera hai una disuguaglianza con $n$ in entrambi i membri, e che quindi non serve a nulla.