Verifica limite usando la definizione

[universo1]

Dal libro "Analisi Matematica, problemi ed esercizi" di De Michele e Forti:

Verificare facendo uso diretto della definizione di limite, che per $n \rightarrow \infty$:
$e ^ (1/n) \rightarrow 1+$

Applicando la definizione di limite, devo verificare se esiste un $n \geq n_0$ per cui $ \forall \epsilon x_n \in B(1,\epsilon)$. Quindi, ricordando che la distanza euclidea in $\mathbb{R}$ coincide col valore assoluto della differenza tra i punti, si deve avere: $|e ^ (1/n) - 1| < \epsilon$ ossia $ 1- \epsilon 0$. Risolvo la diseguaglianza destra: $e ^ (1/n) < 1 + \epsilon$ da cui $ e ^ (1/n) < e ^ ln(1 + \epsilon)$ ovvero $1/n < ln(1+\epsilon)$ da cui $ n > 1/ln(1+\epsilon)$, tenuto in conto che $1+ \epsilon$ è strettamente positivo e rispetta le C.E. e che essendo $1+\epsilon > 1$ si può dividere senza cambiare verso della diseguaglianza. Concludo osservando che $\forall n > 1/ln(1+\epsilon)$ si ha definitivamente $x_n \in B(1,\epsilon)$.
Devo mostrare ora che la successione converge per eccesso a $1+$ ossia devo mostrare che essa è monotona strettamente decrescente: $e ^ (1/n) > e^(1/(n+1))$ da cui $n + 1 > n $ quindi $1 > 0$ ossia la successione converge a 1 per eccesso.

Può andare come verifica?

[billyballo2123]

"universo":
Applicando la definizione di limite, devo verificare se esiste un $ n \geq n_0 $ per cui $ \forall \epsilon x_n \in B(1,\epsilon) $.

Direi di no
Devi verificare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ tale per cui per ogni $n\ge n_0$ si ha che $x_n\inB(1,\varepsilon)$.
A parte questo poi il ragionamento fila.

"universo":
Devo mostrare ora che la successione converge per eccesso a $ 1+ $ ossia devo mostrare che essa è monotona strettamente decrescente:

Anche qui direi che le cose non stanno proprio così: devi dimostrare che $x_n\to 1$ (e questo l'hai già dimostrato nei passaggi precedenti) e che inoltre esiste un $n_0\in\mathbb{N}$ tale per cui $x_n\ge 1$ per ogni $n\ge n_0$... e questo è facile perché come avevi già osservato $e^{\frac{1}{n}}>1$ per ogni $n\in\mathbb{N}$.

[universo1]

Grazie per aver risposto. Nel prima caso cercavo di esprimere a parole il concetto per evitare di scrivere la definizione in simboli ed evidentemente non ci sono riuscito. Nel secondo punto invece ero convinto che l'essere crescente (decrescente) di una successione implicasse l'essere convergente per difetto (eccesso), una volta calcolato il limite.

[billyballo2123]

"universo":Grazie per aver risposto. Nel prima caso cercavo di esprimere a parole il concetto per evitare di scrivere la definizione in simboli ed evidentemente non ci sono riuscito. Nel secondo punto invece ero convinto che l'essere crescente (decrescente) di una successione implicasse l'essere convergente per difetto (eccesso), una volta calcolato il limite.

Sì, l'implicazione è corretta, è sbagliata la tua affermazione:

"universo":
Devo mostrare ora che la successione converge per eccesso a $ 1+ $ ossia devo mostrare che essa è monotona strettamente decrescente:

ovvero mostrare che la successione converge per eccesso non è equivalente a dire che la successsione è monotona strettamente decrescente. L'implicazione vale solo in un verso.