Verifica limite tramite definizione
Buongiorno, vorrei sapere se ho svolto correttamente il seguente esercizio:
La definizione di limite che seguo è questa:
Sia $f(x)$ una funzione definita in un insieme $DsubRR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $D$. Si dice
$lim_(x->x_0)f(x) = L$
se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta>0$, $\delta$ dipendente da $\epsilon$, tale che per ogni $x in D$, con $0<|x-x_0|<\delta$ si ha
$|f(x)-L|<\epsilon$.
Per la funzione in questione $f(x)=logx$, (dove la base del logaritmo è 10) l'insieme di definzione è $D=(0,+\infty)$ e il punto $x_0=2$ essendo un punto interno a $D$ è un suo punto di accumulazione.
Quindi se $lim_(x->2)logx = log2$ , per la definizione si deve avere $|log x - log 2|< \epsilon$
ovvero $- \epsilon
ora essendo $\epsilon>0$ si ha che $2*10^ -\epsilon-2<0$, mentre $2*10^ \epsilon-2>0$
quindi si dovrebbe porre $\delta$ uguale al minimo tra $-(2*10^ -\epsilon-2)$ e $ 2*10^ \epsilon-2$.
Dalle relazioni $ 10^\epsilon>1$ e $ 10^-\epsilon<1$
si hanno $10^\epsilon-1>0$ e $1-10^-\epsilon>0$
$(10^\epsilon-1)(1-10^-\epsilon)>0$
$10^\epsilon-1-1+10^-\epsilon>0$
$10^\epsilon+10^-\epsilon>2$
$2*10^\epsilon>4-2*10^-\epsilon$
$2*10^\epsilon-2>2-2*10^-\epsilon = -(2*10^-\epsilon-2) = \delta$
In conclusione se $|x-2|<\delta$ si ha $|logx-log2|<\epsilon$ e la definizione dovrebbe essere verificata.
Grazie.
Servendosi della definizione di limite, dimostrare che si ha $lim_(x->2)logx = log2$
La definizione di limite che seguo è questa:
Sia $f(x)$ una funzione definita in un insieme $DsubRR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $D$. Si dice
$lim_(x->x_0)f(x) = L$
se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta>0$, $\delta$ dipendente da $\epsilon$, tale che per ogni $x in D$, con $0<|x-x_0|<\delta$ si ha
$|f(x)-L|<\epsilon$.
Per la funzione in questione $f(x)=logx$, (dove la base del logaritmo è 10) l'insieme di definzione è $D=(0,+\infty)$ e il punto $x_0=2$ essendo un punto interno a $D$ è un suo punto di accumulazione.
Quindi se $lim_(x->2)logx = log2$ , per la definizione si deve avere $|log x - log 2|< \epsilon$
ovvero $- \epsilon
ora essendo $\epsilon>0$ si ha che $2*10^ -\epsilon-2<0$, mentre $2*10^ \epsilon-2>0$
quindi si dovrebbe porre $\delta$ uguale al minimo tra $-(2*10^ -\epsilon-2)$ e $ 2*10^ \epsilon-2$.
Dalle relazioni $ 10^\epsilon>1$ e $ 10^-\epsilon<1$
si hanno $10^\epsilon-1>0$ e $1-10^-\epsilon>0$
$(10^\epsilon-1)(1-10^-\epsilon)>0$
$10^\epsilon-1-1+10^-\epsilon>0$
$10^\epsilon+10^-\epsilon>2$
$2*10^\epsilon>4-2*10^-\epsilon$
$2*10^\epsilon-2>2-2*10^-\epsilon = -(2*10^-\epsilon-2) = \delta$
In conclusione se $|x-2|<\delta$ si ha $|logx-log2|<\epsilon$ e la definizione dovrebbe essere verificata.
Grazie.
Risposte
Ho controllato i conti un po' velocemente in verità, ma a occhio mi sembra tutto giusto 
In ogni caso, non serve impelagarsi troppo a trovare esplicitamente il $\delta$. In effetti, ragionando sulla definizione, una volta arrivati a $2 \cdot 10^{-\epsilon} < x < 2 \cdot 10^{\epsilon}$, quello che devi verificare è se questa disuguaglianza definisce un intorno [nota]La definizione con il delta presuppone un intorno del tipo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, ma l'intorno non dev'essere necessariamente centrato affinché il limite sia verificato: la definizione data con gli intorni è equivalente.[/nota]di $2$, cioè se $2$ ricade nell'intervallo $(2 \cdot 10^{-\epsilon}, 2 \cdot 10^{\epsilon})$. Ma questo è vero perché $10^{\epsilon} >1$ e $10^{-\epsilon} < 1$.
Quindi, a meno che il vostro professore non voglia che calcoliate esplicitamente il $\delta$, nei casi più complicati non serve fare troppi conti.
In ogni caso, non serve impelagarsi troppo a trovare esplicitamente il $\delta$. In effetti, ragionando sulla definizione, una volta arrivati a $2 \cdot 10^{-\epsilon} < x < 2 \cdot 10^{\epsilon}$, quello che devi verificare è se questa disuguaglianza definisce un intorno [nota]La definizione con il delta presuppone un intorno del tipo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$, ma l'intorno non dev'essere necessariamente centrato affinché il limite sia verificato: la definizione data con gli intorni è equivalente.[/nota]di $2$, cioè se $2$ ricade nell'intervallo $(2 \cdot 10^{-\epsilon}, 2 \cdot 10^{\epsilon})$. Ma questo è vero perché $10^{\epsilon} >1$ e $10^{-\epsilon} < 1$.
Quindi, a meno che il vostro professore non voglia che calcoliate esplicitamente il $\delta$, nei casi più complicati non serve fare troppi conti.
Grazie per la risposta.
Mi pare di aver capito questo:
se non è necessario che l'intorno sia centrato in $x_0$ e di raggio $\delta$, ci si può fermare,nel caso dell'esercizio, a $ 2 \cdot 10^{-\epsilon} < x < 2 \cdot 10^{\epsilon} $, che costituisce un intorno di 2, anche se 2 non è il centro dell' intorno.
"Antimius":
Note
La definizione con il delta presuppone un intorno del tipo (x0−δ,x0+δ), ma l'intorno non dev'essere necessariamente centrato affinché il limite sia verificato: la definizione data con gli intorni è equivalente. ↑
verifica limite tramite definizione
Mi pare di aver capito questo:
se non è necessario che l'intorno sia centrato in $x_0$ e di raggio $\delta$, ci si può fermare,nel caso dell'esercizio, a $ 2 \cdot 10^{-\epsilon} < x < 2 \cdot 10^{\epsilon} $, che costituisce un intorno di 2, anche se 2 non è il centro dell' intorno.
Hai capito bene 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo