Verifica limite tramite definizione

[Dave971]

Salve, vorrei dei chiarimenti su questo esercizio: spiegare, utilizzando la definizione, il significato della seguente relazione
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{ 1 }{ \sqrt{log_{\frac{1}{2}}|x-1|} } = + \infty \)
La definizione di limite (destro) infinito che tende a un valore finito $x_{0}$ è
\(\displaystyle \forall M>0,\exists \delta >0:f(x)>M,\forall x \in A:x_{0} risolvo quindi la disequazione \(\displaystyle \frac{ 1 }{ \sqrt{log_{\frac{1}{2}}|x-1|}}>M \)
\(\displaystyle =log_{\frac{1}{2}}|x-1|M^{2}<1 \)
\(\displaystyle =|x-1|\frac{1}{2}^{M^{2}}>\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle =|x-1|>2^{M^{2}-1} \)
\(\displaystyle x<-2^{M^{2}-1}+1\vee x>2^{M^{2}-1}+1 \)
Adesso il problema è...come implemento questo risultato nella definzione?
Credo che \(\displaystyle x<-2^{M^{2}-1}+1 \) debba essere escluso in quanto non soddisfa i requisiti della definizione di intorno destro, quindi il risultato finale è \(\displaystyle 0 Gradirei anche degli esempi su altri casi, se possibile.
Vi ringrazio per l'attenzione e per eventuali risposte

[@melia]

La disequazione è sbagliata
$log_(1/2)|x-1|*M^{2}<1$ NON diventa come hai scritto ma $(1/2)^(log_(1/2)|x-1|*M^{2})>1/2$ cioè
$((1/2)^(log_(1/2)|x-1|))^(M^{2})>1/2$ ovvero
$|x-1|^(M^{2})>1/2$

[Dave971]

Ma quando riscrivi la disequazione in modo esponenziale con base 1/2, essa non dovrebbe cambiare segno, essendo la funzione esponenziale con base compresa tra 0 e 1 una funzione decrescente?
$(1/2)^(log_(1/2)|x-1|*M^{2})>1/2$

[Dave971]

Ok, con le opportune correzioni il risultato della disequazione è \(\displaystyle x<-\sqrt[M^{2}]{\frac{1}{2}}+1\vee x>\sqrt[M^{2}]{\frac{1}{2}}+1 \).
Entrambi i risultati sono positivi ($1$ è maggiore di \(\displaystyle -\sqrt[M^{2}]{\frac{1}{2}}\) quindi entrambi soddisfano la definizione di intorno destro, oppure \(\displaystyle x>\sqrt[M^{2}]{\frac{1}{2}}+1 \) va escluso in quanto $x$ non può essere sia minore (dalla definizione) che maggiore di \(\displaystyle \sqrt[M^{2}]{\frac{1}{2}}+1 \)?

[@melia]

Il primo è un intorno sinistro di 1 e il secondo un intorno destro. Ovviamente il tutto va intersecato con le condizioni di esistenza $log_(1/2)|x-1|>0$

[Dave971]

In effetti vedendola in quel modo la seconda è subito da escludere in quanto stiamo studiando l'intorno destro di 0. Il campo di esistenza è \(\displaystyle (0,1)\cup (1,2) \) quindi non ci dà problemi. In conclusione, con \(\displaystyle 0

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[@melia]