Verifica limite tramite definizione
Salve a tutti,
Non riesco a risolvere questo esercizio:
Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limite
$ lim_(x -> 1^-) 1/(x^4-x^2) $
Il calcolo è semplice e fa meno infinito.
Riguardo alla definizione ho qualche problema ovvero:
$ AA K>0\ EE\delta>0\ t.c. 0<1-x<\delta \ rArr \ 1/(x^4-x^2)<-K $
Parto da $1/(x^4-x^2)<-K $
$ (Kx^4-Kx^2+1)/(x^4-x^2)<0 $
Per il denominatore $ D>0 hArr x<-1vv x>1 $
per il numeratore $Kx^4-Kx^2+1>0 hArr x^2<(K-sqrt(K^2-4K))/(2K)vvx^2>(K+sqrt(K^2-4K))/2K$
Risolvendo rispetto ad x si ottiene
$x^2<(K-sqrt(K^2-4K))/(2K) hArr -sqrt((K-sqrt(K^2-4K))/(2K))
Ora non riesco a continuare. Come trovo il delta?
Grazie
Non riesco a risolvere questo esercizio:
Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limite
$ lim_(x -> 1^-) 1/(x^4-x^2) $
Il calcolo è semplice e fa meno infinito.
Riguardo alla definizione ho qualche problema ovvero:
$ AA K>0\ EE\delta>0\ t.c. 0<1-x<\delta \ rArr \ 1/(x^4-x^2)<-K $
Parto da $1/(x^4-x^2)<-K $
$ (Kx^4-Kx^2+1)/(x^4-x^2)<0 $
Per il denominatore $ D>0 hArr x<-1vv x>1 $
per il numeratore $Kx^4-Kx^2+1>0 hArr x^2<(K-sqrt(K^2-4K))/(2K)vvx^2>(K+sqrt(K^2-4K))/2K$
Risolvendo rispetto ad x si ottiene
$x^2<(K-sqrt(K^2-4K))/(2K) hArr -sqrt((K-sqrt(K^2-4K))/(2K))
Ora non riesco a continuare. Come trovo il delta?
Grazie
Risposte
Nessuno riesce a darmi qualche indicazione?
La soluzione della disequazione deve indicare che si tratta di valori di $ x $ facenti parte di un intorno sinistro del punto $ x= 1 $ dato che il limite è per $ x rarr 1^(-)$ ma.. non è così semplice da vedere.
Certamente il risultato $ x > sqrt ((k+sqrt(k^2-4k))/(2k)) $ lo si può riscrivere dopo qualche conto come $x > sqrt(1/2+1/2sqrt(1-4/k)) $ che è un intorno sinistro di 1 , ma quanto a trovare il $ delta $ corrispondente lascio a te
l'onore e l'onere ammesso che ne valga la pena. Dubito...
Certamente il risultato $ x > sqrt ((k+sqrt(k^2-4k))/(2k)) $ lo si può riscrivere dopo qualche conto come $x > sqrt(1/2+1/2sqrt(1-4/k)) $ che è un intorno sinistro di 1 , ma quanto a trovare il $ delta $ corrispondente lascio a te
l'onore e l'onere ammesso che ne valga la pena. Dubito...
Mi sono arreso nel seguire quella strada.
Ho provato a fare così
$1/(x^4-x^2)<-K$ considerando che il denominatore è negativo nell'intorno sinistro di uno
$x^4-x^2 > -1/K$
$x^2(x+1)(x-1) > -1/K$ divido per $x^2(x+1)^2$ che in questo caso è una quantità positiva diversa da zero
$x-1 > -1/(Kx^2(x+1))$ poiché $x^2(x+1)<2$ nell'intorno sinistro di uno
$x-1 > -1/(Kx^2(x+1)) > -1/(2K)$
$1-x < 1/(2K)$ e dunque $\delta=1/(2K)$
Posso ritenerlo un ragionamento corretto? Grazie
Ho provato a fare così
$1/(x^4-x^2)<-K$ considerando che il denominatore è negativo nell'intorno sinistro di uno
$x^4-x^2 > -1/K$
$x^2(x+1)(x-1) > -1/K$ divido per $x^2(x+1)^2$ che in questo caso è una quantità positiva diversa da zero
$x-1 > -1/(Kx^2(x+1))$ poiché $x^2(x+1)<2$ nell'intorno sinistro di uno
$x-1 > -1/(Kx^2(x+1)) > -1/(2K)$
$1-x < 1/(2K)$ e dunque $\delta=1/(2K)$
Posso ritenerlo un ragionamento corretto? Grazie
Mi sembra ingegnoso e anche corretto vediamo altri pareri .
vediamo altri pareri .
Nessuno si pronuncia ?
Anche io sarei curioso di avere un terzo parere, giusto per esserne sicuri.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo