Verifica limite mediante la definizione

[iPeppe89]

Salve ragazzi, stavo provando a verificare il seguente limite, usando la definizione:
$\lim_{n \to \infty}(sqrt(n+1)-sqrt(n))n$
Usando la definizione di limite, ciò significa risolvere:
$(sqrt(n+1) - sqrt(n))n > K$ con $n>=1, K>0$
Ora, il mio problema riguarda più che altro la risoluzione di tale disequazione irrazionale. Infatti ho proceduto come segue:
$nsqrt(n+1)-nsqrt(n)>K$ $\Rightarrow$
$nsqrt(n+1)>nsqrt(n)+K$ $\Rightarrow$
$sqrt(n+1)>sqrt(n)+K/n$ $\Rightarrow$
Adesso, avendo quantità positive ambo i membri, elevo al quadrato:
$n+1>(sqrt(n)+K/n)^2$ $\Rightarrow$
$n+1>n+K^2/n^2+(2Ksqrt(n))/n$
Adesso moltiplico tutto per $n^2$:
$K+2Knsqrt(n)-n^2<0$ $\Rightarrow$
$n^2-2Knsqrt(n)-K>0$

Tutto giusto fin qui?
Supposto sia tutto giusto, da qui in poi non so più come procedere. Stavo provando a calcolare il $\Delta$, però non so se sbaglio, dato che c'è quel $sqrt(n)$
Qualcuno che mi aiuterebbe? Ne sarei davvero grato!
Grazie

[Berationalgetreal]

Puoi semplicare di molto i calcoli facendo questa osservazione all'inizio:

Definitivamente

\[ n \left ( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right ) = \frac {n}{\sqrt{n +1} + \sqrt{n}} > \frac{n}{2 \sqrt{n +1}} > \frac{n} {2 \sqrt {2n}} = \frac{1}{2 \sqrt {2}} \cdot \sqrt{n} \]

Quindi ti basta dimostrare che $ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \sqrt{n} > K $, perché implicherà automaticamente che lo sia anche tutto ciò che lo maggiora.