Verifica limite in due variabili (con maggiorazione)

[mauro191]

Gentile forum, avrei un dubbio sulle modalità di verifica dei limiti in due variabili.
Esempio:

Verificare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) x^4/(x^2+y^2) = 0$

Tralasciando la definizione e tutte le varie notazioni, bisogna verificare che:

$|x^4/(x^2+y^2)| < ε$

Ora, qui iniziano i miei problemi. Si incomincia con le maggiorazioni.
Esempio:
$|x^4/(x^2+y^2)| = x^4/(x^2+y^2) = x^2 * x^2 / (x^2 + y^2) <= x^2 * (x^2 + y^2)/(x^2 + y^2) = x^2 <= x^2 + y^2$

Si è "dimostrato" quindi che $|x^4/(x^2+y^2)|<= x^2 + y^2$

Dopo aver fatto questo passaggio si dimostra che $x^2 + y^2 < ε$ per tutti i punti $(x,y)$ appartenenti ad un intorno di $sqrt(ε)$, quindi per questo intorno anche la funzione $|x^4/(x^2+y^2)|< ε $.

Perchè? Il ragionamento che ho fatto io, però non se è giusto, è il seguente: data una funzione iniziale $f(x)$ dobbiamo dimostrare che questa funzione sia $< ε $. Se però, riesco a trovare una funzione $g(x) >= f(x)$, e riesco a trovare dei valori validi per $g(x)$ tale che $g(x) < ε$, allora, quegli stessi valori, essendo $f(x) <= g(x)$, saranno validi anche per $f(x)$.
Cioè vale:
$f(x) <= g(x)$, $g(x) < ε$ (per un intorno sferico chiamato C), allora $f(x) <= g(x) < ε$ (per C), quindi $f(x) < ε$ per C.
E' corretto il ragionamento?
Grazie anticipatamente.

[Rigel1]

Sì.