Verifica limite in due variabili

[Rebdiluca]

Ciao, devo verificare che $ lim_((x,y) -> (1,1)) ((x-1)^5-(x-1)^2 -3(y-1)^2)/(x^2+3y^2-2(x+3y-2))=-1 $. Dopo alcuni passaggi, in pratica devo trovare $ delta $ tale che $ |(x-1)^5/((x+1)^2+3(y-1)^2)|< epsilon $. A tale scopo, ho maggiorato la funzione con:
$ (sqrt((x-1)^2) (x-1)^2 [(x-1)^2+3(y-1)^2])/[(x-1)^2+3(y-1)^2]=sqrt((x-1)^2) (x-1)^2 <=sqrt((x-1)^2+(y-1)^2) (x-1)^2 $

Innanzitutto sono corretti questi passaggi? Se sì, non so come proseguire perché ho il secondo fattore che mi dà fastidio. Suggerimento? Grazie!

[bosmer-votailprof]

Ciao Robert96, dunque innanzi tutto immagino che quel $+$ nel $(x+1)^2$ a denominatore sia un refuso e volevi mettere un meno

"Robert96": Dopo alcuni passaggi, in pratica devo trovare $ delta $ tale che $ |(x-1)^5/((x+1)^2+3(y-1)^2)|< epsilon $

Dopodiché, i passaggi sono corretti, però io avrei usato una maggiorazione più semplice.
In particolare potevi notare che $(x-1)^2+3(y-1)^2\geq (x-1)^2$ e quindi che $\frac{1}{(x-1)^2+3(y-1)^2}\leq\frac{1}{(x-1)^2}$

per cui ottieni che

$|(x-1)^5/((x-1)^2+3(y-1)^2)|\leq |(x-1)^5/((x-1)^2)|=|(x-1)^3|\leq ||\vec{p}||_2^3 <\delta^3$

quindi ottieni che

$\delta=\epsilon^{1/3}$

dove $\vec{p}=(x,y)$ e dove con $||\vec{p}||_2$ ho indicato la norma euclidea, anche se andavano bene un sacco di altre norme.

In ogni caso anche nel punto in cui ti sei inceppato tu in realtà eri già arrivato al traguardo, perché quel secondo fattore che "ti da fastidio" in realtà è minore del quadrato del primo fattore $(x-1)^2+(y-1)^2\geq (x-1)^2$ sempre grazie al fatto che questi sono tutti numeri positivi. Per cui se provi a maggiorare in questo modo giungi comunque a concludere che $\delta=\epsilon^{1/3}$


Spero di esserti stato d'aiuto e buona serata.

[Rebdiluca]

Grazie Bossmer, alla fine ero riuscito ad arrivare alla soluzione giusta proprio grazie all'ultima maggiorazione che hai suggerito.