Verifica limite funzione con la definizione

[Newton_1372]

Verificare tramite definizione che
$\lim_{x\to 1} (x+1)/x = 2$

TENTATA RISOLUZIONE
Def. di limite. Per ogni $\epsilon>0$ esiste un $\delta>0$ t.c. per ogni $|x-x_0|<\delta$ si ha $|f(x)-L|<\epsilon$.
Nella fattispecie devo dimostrare che che la quantità
$2-\epsilon<(x+1)/x<2+\epsilon$.
Poichè a me serve almeno un intorno di 1, posso anche considerare le x come strettamente positive. Mi sono trovato, sviluppando le disequazioni
$1/(1+\epsilon)
Ma non mi sono trovato ancora un intorno di 1! Ho provato ha fare la posizione
$(1-\delta)=(1)/(1+\epsilon)$
ma non mi esce niente! Non riesco a trovare il famoso delta...come posso fare?

[Luca.Lussardi]

Osserva che $1/(1+\epsilon)=1-\epsilon/(1+\epsilon)$ e $1/(1-\epsilon)=1+\epsilon/(1-\epsilon)$.

[Newton_1372]

Appunto...il delta praticamente è variabile!!!!!!!!!!! Secondo la definizione invece ci dovrebbe essere un delta fisso tranne che $x-\delta

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[Luca.Lussardi]

$\delta=\epsilon/(1+\epsilon)$ va bene, dal momento che $\epsilon/(1+epsilon)<\epsilon/(1-\epsilon)$.

[_prime_number]

Puoi scegliere il più "conveniente" tra [tex]\displaystyle\frac{-\epsilon}{1+\epsilon}[/tex] e [tex]\displaystyle\frac{\epsilon}{1-\epsilon}[/tex]...

Paola

[Antimius]

Tu sai che $x \in I=(1/(1+\epsilon),1/(1-\epsilon)) \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon$ anche se $I$ non è un intorno circolare. Allora basta prendere un $\delta$ tale che $I_(\delta)=(1-\delta,1+\delta) \subset I$. Infatti $x \in I_(\delta)$ implica che $x \in I$, che implica...
Hai un'idea su che $\delta$ prendere?
Ovviamente $\delta$ dipenderà da $\epsilon$.

EDIT: quanto sono lento a scrivere >.<

[Newton_1372]

ho notato un altra cosa inquietante...quando epsilon è abbastanza grande quella disuguaglianza va a farsi benedire...infatti se epsilon = 4, per esempio, il termine di destra praticamente diventa negativo!:|

Cmq non ho idea di che delta prendere

[Luca.Lussardi]

Ma sai leggere?

[Newton_1372]

Si ho letto...mi è stato domandato su che delta prendere...e ho risposto che non lo so che cosa si intende con "Il più conveniente? E poi perchè per epsilon abbastanza grande quella disuguaglianza non vale?

[Gi81]

Come non vale? Se vale $AA epsilon >0$ piccolo, vale a maggior ragione con $epsilon$ grande

[_prime_number]

Luca ti ha risposto palesemente. Direi che non serve domandarsi cosa accade per $\epsilon$ grande, perché quando fai il limite consideri solo $\epsilon$ piccoli.

Paola

[Newton_1372]

Poniamo epsilon = 4

1+ 4/5 < x < 1 - 4/3 e l'assurdo è assicurato

[Antimius]

(Ti sei perso un segno meno prima di $4/5$)
Basta che prendi $\delta=min{\epsilon/(|1-\epsilon|),\epsilon/(1+\epsilon)}$ e non hai problemi

[Newton_1372]

sarà...in ogni caso viene

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[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"newton_1372":Poniamo epsilon = 4

Se [tex]\varepsilon > 1[/tex] quando dividi per [tex]1-\varepsilon[/tex] (vedi il tuo intervento iniziale, lo svolgimento delle disuguaglianze) il [tex]<[/tex] diventa [tex]>[/tex]

[Newton_1372]

Mi citeresti di preciso?
Comunque io stavo pensando un altra cosa...metti che c'è una una funzione che dapprima oscilla e solo alla fine tende verso il limite ...è ovvio che non posso dunque prendere epsilon troppo grande...c'è un valore massimo di epsilon oltre il quale la disuguaglianza non può valere

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"newton_1372":$2-\epsilon<(x+1)/x<2+\epsilon$.
Poichè a me serve almeno un intorno di 1, posso anche considerare le x come strettamente positive. Mi sono trovato, sviluppando le disequazioni
$1/(1+\epsilon)Questo passaggio e' valido solo nell'ipotesi [tex]\varepsilon < 1[/tex]. Se [tex]\varepsilon > 1[/tex] e' sbagliato.

Infatti la disequazione [tex]2-\varepsilon < \frac{x+1}{x}[/tex] diventa [tex](1-\varepsilon)x<1[/tex], e se [tex]\varepsilon>1[/tex] allora ottieni [tex]x>1/(1-\varepsilon)[/tex], essendo [tex]1-\varepsilon < 0[/tex].

[Newton_1372]

Si Si infatti l'ho visto...vi ringrazio infinitamente!

[Newton_1372]

Per epsilon maggiore di 0 prendendo le intersezioni delle soluzioni mi viene
$x<(1)/(1-\epsilon)$ ...non troviamo nessun intorno di 1!