Verifica limite due variabili

[entropy1]

Salve a tutti. Data la funzione \(\displaystyle f: I \to \mathbb{R} \), f : con $ Isube RR^2$
si chiede di VERIFICARE il seguente limite

\(\displaystyle \hspace{170pt} \) $lim_ (n\to 0) sin(xy)/(xy) = 1$

Con $(x_0, y_0)$ punto di accumulazione per $I$. Rammentando la definizione di limite per funzioni di più variabili (ci si limita al caso di due), si ha

$AA\epsilon in R_+\qquadEE \delta>0 :\quad|f(x, y) - l| <= \epsilon\qquadAA (x,y) in ((B(x_0 ,y_0),delta) nn I - {x_0,y_0})$

dove $B$ indica l’intorno circolare di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $delta$.

Partendo dalla disuguaglianza $ sin(xy)/(xy) <= 1/(xy)$

si ha che $|1/(xy) - 1| <= \epsilon$ $\quad$ $rarr$ $\quad$ $ -\epsilon <= 1/(xy) -1 <= \epsilon$ $\quad$ $rarr$ $\quad$ $ 1 -\epsilon <= 1/(xy) <= 1 + \epsilon$

o ciò che è lo stesso $ 1/(1 +\epsilon) <= xy <= 1/(1 - \epsilon$

In pratica ottengo due iperbole equilatere di equazione $ xy = 1/(1 +\epsilon)\qquad$ e $\qquad xy = 1/(1 - \epsilon)$

$\epsilon$ \(\displaystyle \hspace{0.5pt} \)è abbastanza piccolo da rendere $1 - \epsilon$ positivo.

Ala fine (non sono riuscito a riportare la figura), ottengo che la disuguaglianza è verificata nello spazio compreso fra i due rami d'iperbole e non un intorno circolare di (0,0), come mi sarei aspettato.
Qualcuno è in grado di aiutarmi? Grazie in anticipo.

[stormy1]

ma in questo caso non si può porre $z=xy$ e dire che ci si è ricondotti al limite notevole $ lim_(z -> 0)sinz/z=1 $ ?

[entropy1]

Certo che posso, ma oltre a semplificare il calcolo non trovo soluzione al problema. posto z=xy, la riporto a una variabile $z,f(z)$ e con passaggi simili a quelli visti ottengo che $1/(1+epsilon) <= z <= 1/(1-epsilon)$ cioè due rette sull'asse z in cui posso trovare un intorno di 1 e non di 0 come dovrei avere.
Anche in questo modo il limite NON è verificato, ma so che lo deve essere in quanto riconducibile al limite fondamentale da te riportato.
Comunque grazie per l'interessamento.

[stormy1]

ma il problema è che,se non ricordo male,la dimostrazione del limite notevole a cui ci riferiamo,si fa con considerazioni geometriche e con il teorema del confronto