Verifica limite di una successione

[callon1]

Salve non riesco a verificare tale limite:

$ lim_(n -> oo ) tg(1/n) = 0 $

una volta giunto alla verifica il libro suggerisce di utilizzare questo: $ cosx<1/2 $ se $ |x| < pi /3 $ però non capisco come procedere.

[bosmer-votailprof]

Prima di tutto il suggerimento del libro è sbagliato, perché al massimo $\cos(x) > \frac{1}{2}$ se $|x|<\frac{\pi}{3}$, poi se lo devi per forza verificare con le disuguaglianze basta che prima di tutto fai la sostituzione $x=\frac 1 n $ in questo modo hai il limite
$$
\lim_{x\to 0}\tan(x)
$$
a questo punto visto che devi verificare che il limite sia nullo, studi il limite del modulo dove hai che
$$
|\tan(x)|=\frac{|\sin(x)|}{|\cos(x)|}
$$
poi usi la disuguaglianza notevole $\sin(x)\cos(x)\le x$ che riscrivi come $\sin(x)\le \frac{x}{\cos(x)}$ e la applichi ottenendo che
$$
\frac{|\sin(x)|}{|\cos(x)|}\leq\frac{|x|}{|\cos^2(x)|}
$$

Poi a questo punto non ti resta che scegliere una $x$ vicina a zero che piace a te, ad esempio quella suggerita dal libro ovvero $x=\frac \pi 3$ per la quale hai che $\cos(x)>\frac{1}{2}$ quindi ottieni che
$$
\frac{|x|}{|\cos^2(x)|}\leq 4|x|< 4\delta=\epsilon
$$

fine

[callon1]

"Bossmer":

Poi a questo punto non ti resta che scegliere una $x$ vicina a zero che piace a te, ad esempio quella suggerita dal libro ovvero $x=\frac \pi 3$ per la quale hai che $\cos(x)>\frac{1}{2}$ quindi ottieni che
$$
\frac{|x|}{|\cos^2(x)|}\leq 4|x|< 4\delta=\epsilon
$$

fine

Ciao, grazie mille per la risposta ma l'ultimo passaggio mi è poco chiaro. Perchè a quel punto scegliamo una x vicina allo zero e la sostituiamo solo a cosx? ? Per la definizione di limite di successione? Poi per $x=pi/3$ il coseno è esattamente 1/2, quindi non mi trovo, o ti sei dimenticato un uguale oppure, probabilmente, sfugge qualcosa a me.

Un'altra cosa quella epsilon che trovo rappresenta "l'ampiezza dell'intervallo" entro cui la successione, dopo un certo $n$, tenderà a quel valore di limite?

ps: scusami se non ho capito male io non dovrei trovare quel valore di n tale che la funziona da lì in poi, qualsiasi sia epsilon, converga? scusami ma questo esercizio a differenza degli altri mi ha confuso un pò.

[bosmer-votailprof]

No scusami innanzi tutto tu , ma mentre scrivevo mi ero dimenticato che si trattava di una successione e non di una funzione in ogni caso poco cambia.

Innanzi tutto, non ho preso una $x$ vicina a zero e l'ho sostituita al coseno ma ho applicato la disuguaglianza che mi dice che il coseno è decrescente nell'intervallo $(0,\pi)$ oltre ad essere una funzione pari, quindi se ad esempio $\cos(\frac \pi 3)=\frac 1 2$ allora se $|x|<\frac \pi 3$ avrò che $\cos(x)>\frac 1 2$ tutto qui.

Poi $x=\frac{1}{n}$ quindi $x$ non potrà mai essere uguale a $\frac \pi 3$ perché $n$ è naturale però sicuramente esiste un $N$ tale per cui $x<\frac{\pi}{3}$ e questo $N$ è un qualunque numero naturale maggiore di $\frac{3}{\pi}$ ad esempio funziona già per $N=1$ adesso nell'ultimo passaggio ho usato il fatto che per ogni $n\ge N$ si ha che
$$
\cos(x)=\cos\left(\frac{1}{n}\right)>\frac{1}{2}
$$
elevando al quadrato ed invertendo i membri abbiamo che
$$
\frac{1}{\cos^2(x)}<4
$$
Quindi se applichiamo questo alla successione precedente abbiamo che
$$
\frac{|x|}{\cos^2(x)}<4|x|=\frac{4}{n}
$$
A questo punto dipende quanto a fondo vuoi andare, nel senso che puoi concludere dicendo che chiaramente $\frac 4 n \to 0$ oppure puoi continuare e la epsilon diciamo salta fuori solo per dimostrare che $\frac 4 n \to 0$ ora si tratta ( volendo ) di dimostrare quest ultimo limite ...

visto che si tratta di una successione lo faccio per l'espressione in $n$ (il che ribalterà il risultato)...
è velocissimo infatti se supponiamo che
$$
\frac{4}{n}< \epsilon
$$
allora abbiamo che
$$
n>\frac{4}{\epsilon}
$$
e se definiamo $N=\frac{4}{\epsilon}$ abbiamo finito perché abbiamo ottenuto che
$$
\frac{4}{n}< \epsilon \, \forall \, n>N=\frac{4}{\epsilon}
$$