Verifica limite di funzione a 2 variabili

[Gmork]

Dovrei dimostrare che:

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{1}{|x|}+\frac{1}{y^2}=+\infty$

quindi che fissato $k>0\ \exists \delta_{k}>0: 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta_k\ \Rightarrow \frac{1}{|x|}+\frac{1}{y^2}>k$

il problema è che dopo aver osservato che l'ultima implicazione è vera se $|x|<\frac{2}{k}$ e se $y^2<2/k\ \Leftrightarrow |y|<\sqrt{\frac{2}{k}}$

la prof dice che $|x|\le \sqrt{x^2+y^2}<\frac{2}{k}$ e che $y\le \sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\frac{2}{k}}$

in particolare non capisco queste due ultime relazioni

[ciampax]

Poiché $x^2+y^2\ge x^2$ allora $\sqrt{x^2+y^2}\ge |x|$. Analogamente per $y$. Tuttavia, stavo pensando che se tu imponi di tuo che $|x|<\frac{2}{k}$ e $|y|<\frac{\sqrt{2}}{k}$, allora hai automaticamente che

[tex]$\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\frac{4}{k^2}+\frac{2}{k^2}}=\frac{\sqrt{6}}{k}$[/tex]

per cui $\delta_k=\sqrt{6}/k$.

[Gmork]

Ma allora perchè $\sqrt{x^2+y^2}<\frac{2}{k}$ e $\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\frac{2}{k}}$ ?

[ciampax]

Infatti quello non lo capisco neanche io!

[Gmork]

Ne avrei un altro nel quale mi sono bloccato. Questa volta devo verificare che
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^{2}y-y^3}{2x^2+3y^2}=0$


Ho fatto la seguente osservazione:

$|\frac{x^{2}y-y^3}{2x^2+3y^2}|=\frac{|x^{2}y-y^3|}{2x^2+3y^2}\le \frac{|x^{2}y|}{2x^2+3y^2}+\frac{|y^3|}{2x^2+3y^2}=|y|\frac{x^2}{2x^2+3y^2}+\frac{|y^3|}{2x^2+3y^2}$

poi, non so se è giusto ma ho visto che, per il primo addendo si ha:

$x^2\le 2x^2+3y^2$ da cui $0\le \frac{x^2}{2x^2+3y^2}\le 1$

ma a questo punto mi blocco