Verifica limite con definizione

[LevN]

Buonasera, come da titolo dovrei verificare un limite tramite definizione.
$\lim_{n \to \2}(3x+1)/(x-1)=7$
Inizio in questo modo:
$|(3x+1)/(x-1)-7|=4|(x-2)/(x-1)|<\epsilon$
$\{(x-2)/(x-1)<\epsilon/4,(x-2)/(x-1)> -\epsilon/4:}$
Ora se voglio continuare devo svolgere queste due disequazioni letterarie? Io ho provato ma viene una cosa davvero orribile e non credo sia giusta. Dando uno sguardo al libro me lo svolge così:
Per x appartenente all'intorno $x_0=2$ di ampiezza $1/2$, risulta $x>2-1/2$, quindi $4|(x-2)/(x-1)|< 4/(1/2)|x-2|=8|x-2|$ per ogni $x in R$ tale che $|x-2|<1/2$. Fissato $\epsilon>0$ e posto $\delta=min(1/2, \epsilon/8)$ risulta $|(3x+1)/(x-1)-7|<\epsilon, AAx in R : |x-2|<\delta$.
Io sinceramente ho capito poco o nulla di questo procedimento, chi può darmi una mano a capire?

[otta96]

Non è proprio indispensabile risolvere esplicitamente le disuguaglianze, devi solo trovare $\delta$ tale che se $|x-2|<\delta$ allora $-\epsilon<4|(x-2)/(x-1)|<\epsilon$, che diventa $-\epsilon/4<-\delta/(x-1)$ e $\delta/(x-1)<\epsilon/4$, tutto questo vale se $x-1>0$, che vale sicuramente se prendo $\delta<1$ (ad esempio $\delta=min{1/2,\text{qualcos'altro che ancora non si sa}}$), se abbiamo preso $\delta<=1/2$ abbiamo che $1/2 Nota che in alcuni passaggi ci sono delle scelte da fare e quindi uno poteva risolvere l'esercizio anche in un altro modo, per esempio al posto di $1/2$ andava anche bene un qualsiasi numero tra $0$ e $1$ ecc...

[anto_zoolander]

La funzione è continua in $x=2$(?)