Verifica limite: ancora.

[gundamrx91-votailprof]

Sto cercando di capire come verificare questo limite:

$lim_{x->0} (2x-5)/x^2 = -infty$

Io so che un limite di questo tipo è nella forma $lim_{x->x_0} f(x)/g(x)=l_1/l_2$, infatti il $lim_{x->0} 2x-5=-5$ e $lim_{x->0} 1/x^2 = + infty$. Ora dal limite del numeratore so che:

$|f(x) - l_1| < epsilon$ cioè $|2x-5 - (-5)| < epsilon$ e $|2x|
mentre dal limite del denominatore so che:

$g(x)> M$ per $AAM>0$ da cui $1/x^2 > M$ , $x^2 < 1/M$ , $|x| < 1/sqrt(M)$ (è corretto questo?)

Ora come dimostro il limite nella tua interezza? Cioè quello dato da $f(x)/g(x)$ ?

Grazie

Edit: mi sono accorto di un errore, ma non cambia il mio dubbio.

[Lorin1]

Applicando la definizione di limite divergente a meno infinito si ha che:

$AAM>0 EE\delta>0 : 0<|x|<\delta => (2x-5)/x^2<-M$

Se ti concentri solo sulla disequazione finale dovresti riuscire ad arrivare alla soluzione...

[gundamrx91-votailprof]

Il problema è proprio la disequazione perché farei $2x-5< -Mx^2$ e $2x + Mx^2 < 5$ e poi non so come proseguire....

[Lorin1]

Per prima cosa diciamo che il denominatore non dà problemi perchè è sempre positivo quindi lo possiamo togliere, per quanto riguarda il numeratore, vedilo così: $Mx^2+2x-5<0$ da cui applicando formula risolutiva:

$-1-sqrt(1+5M)

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[gundamrx91-votailprof]

"Lorin":Per prima cosa diciamo che il denominatore non dà problemi perchè è sempre positivo quindi lo possiamo togliere, per quanto riguarda il numeratore, vedilo così: $Mx^2+2x-5<0$ da cui applicando formula risolutiva:

$-1-sqrt(1+5M)

Non dovrebbe essere $(-1-sqrt(1+5M))/M

Cita

Segnala

[Lorin1]

Si pardon mi è sfuggita una M

[gundamrx91-votailprof]

Figurati
Quindi per riepilogare l'intorno $H(x_0, M)$ è definito dall'intervallo di estremi $(-1-sqrt(1+5M))/M < x < (-1+sqrt(1+5M))/M$.

Grazie per l'aiuto

[Lorin1]

Si...figurati!

[gundamrx91-votailprof]

Sto provando a verificare il seguente limite:

$lim_(x \to \infty)((2x^2-1)/(5x^2+3))=2/5$

$AA epsilon>0$ ho che $| (2x^2-1)/(5x^2+3) - 2/3| < epsilon$

da cui ricavo, se ho fatto bene, $|x|> sqrt(11/(25epsilon) + 3/5)$

Però non mi sembra corretto... confermate?

[gundamrx91-votailprof]

Un suggerimento per favore.

[gio73]

"GundamRX91":

$lim_(x \to \infty)((2x^2-1)/(5x^2+3))=2/5$

$AA epsilon>0$ ho che $| (2x^2-1)/(5x^2+3)- 2/3| < epsilon$

Ora mi metto a fare i conti, ma non dovrebbe essere -2/5 invece che -2/3?

[gio73]

Fatta la correzione che ti ho detto mi viene che la funzione non può mai essere maggiore di 2/5 (così come ci si aspetta dal fatto che il limite per x che tende ad infinito è proprio 2/5, successiva correzione: si sta avvicinando da sotto, non mi esprimo bene ma spero di farmi capire)
Di conseguenza il valore assoluto che resta da studiare sarà: $(2/5-(2x^2-1)/(5x^2+3)) Ti pare sensato?

[gundamrx91-votailprof]

Aspetta non ti seguo... perché hai fatto $l- f(x)$ piuttosto che $f(x)-l$ ?

[gio73]

Allora se ho un valore assoluto significa che $f(x)-ll e $l-f(x) A dire se f(x) è più grande di l allora metto come minuendo f(x) se invece è l ad essere più grande di f(x) metto l come primo termine perchè il risultato epsilon della sottrazione deve essere positivo, ti sembra corretto?

[chiaraotta1]

"GundamRX91":Sto provando a verificare il seguente limite:

$lim_(x \to \infty)((2x^2-1)/(5x^2+3))=2/5$

$AA epsilon>0$ ho che $| (2x^2-1)/(5x^2+3) - 2/3| < epsilon$

da cui ricavo, se ho fatto bene, $|x|> sqrt(11/(25epsilon) + 3/5)$

Però non mi sembra corretto... confermate?

Per risolvere la disequazione
$|(2x^2-1)/(5x^2+3)-2/5| conviene eseguire la divisione fra polinomi
$(2x^2-1)/(5x^2+3)$.
Poiché
$(2x^2-1)/(5x^2+3)=2/5 - 11/(5·(5·x^2 + 3))$,
la disequazione diventa
$|2/5 - 11/(5·(5·x^2 + 3))-2/5||- 11/(5·(5·x^2 + 3))|$
$11/(5·(5·x^2 + 3))5·x^2 + 3>11/(5*epsilon)->x^2>11/(25*epsilon)-3/5$.
Se
$11/(25*epsilon)-3/5<0$
la disequazione è vera per ogni $x$;
se invece
$11/(25*epsilon)-3/5>=0$
allora
le soluzioni sono
$x<-sqrt(11/(25*epsilon)-3/5)$ e $x>sqrt(11/(25*epsilon)-3/5)$
oppure
$|x|>sqrt(11/(25*epsilon)-3/5)$.
Quindi il limite $5/2$ è verificato.

[gundamrx91-votailprof]

Grazie chiaraotta per l'aiuto!! Il mio dubbio era proprio sulla determinazione della soluzione finale, seppure abbia sbagliato un segno. Io non ho provato a dividere i polinomi per via dello stesso grado, ma mi sbagliavo (ancora).

Grazie anche a gio73

[gio73]

Anche io ho provato a verificare il limite, senza fare la divisione tra i polinomi, ed il risultato è lo stesso di chiaraotta!

[gundamrx91-votailprof]

Potresti postare la tua soluzione, così ho entrambi i riferimenti? Grazie

[gio73]

$(2/5-(2x^2-1)/(5x^2+3)) $-(2x^2-1)/(5x^2+3) $-2x^2+1 $1-2x^2<5epsilonx^2+3epsilon-2x^2-6/5$
aggiungo membro a membro $2x^2$
$1<5epsilonx^2-6/5+3epsilon$
$1+6/5-3epsilon<5epsilon x^2$
$11/5-3epsilon<5epsilon x^2$
$(11/5 -3epsilon)*1/(5epsilon) $11/(25epsilon)-3/5 significa che il quadrato di x deve essere maggiore di $11/(25epsilon)-3/5$
di conseguenza $x>sqrt(11/(25epsilon)-3/5)$ oppure $x<-sqrt(11/(25epsilon)-3/5)$
Se non ho capito male questo dovrebbe essere un intorno di $oo$
Giacchè $epsilon$ deve essere positivo e piccolo a piacere il primo termine della sottrazione sotto radice può essere grande quanto mi piace.
cioè se la funzione si avvicina al limite la x si avvicina o a $+oo$ o a $-oo$

[gundamrx91-votailprof]

Grazie ancora Gio, spero di ricambiare presto.

[gio73]

Di nulla! Poi sono io che ricambio, mi sei già stato d'aiuto in algebra.
A dirti la verità rispondere al tuo dubbio mi ha aiutata tantissimo a chiarirmi il concetto di limite; di solito applicavo tecniche risolutive senza interrogarmi sul reale significato di quanto scritto.