Verifica limite a più variabili

[lex1531]

l'esercizio mi chiede di verificare il limite tramite la definizione stessa
testo:
$ lim_((x,y) rarr (4,-1))(xy+y^2+x+y)/(y+1)=3 $

allora premettendo che la funzione esiste per valori $y!=-1$
posso semplificare raggruppando e semplificando e diventa:

$(xy+y^2+x+y)/(y+1)=x+y$

la definizione del limite mi dice che:

$ sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)
quindi: $|(x+y)-3|
e $sqrt((x-4)^2+(y+1)^2)
ecco, come faccio a determinare $epsilon$ e $delta$ ?

[lex1531]

sto vedendo tanti esercizi ma non sto capendo proprio bene.
fin'ora credo di aver capito che il procedimento dovrebbe essere:

ho una funzione $f(x,y)$ , questa funzione in relazione al limite deve risultare $|f(x,y)-l|0$

ora, questa relazione mi viene data come conseguenza di un altra relazione che è $sqrt((x-x_0)+(y-y_0))0$

quindi la mia incognita è $delta$ in fin dei conti? ... mi sto seriamente perdendo!

[erotvlas]

\(f\left(4+\triangle x,-1+\triangle y\right)=......=3+\triangle x+\triangle y\)
\(\left|f\left(4+\triangle x,-1+\triangle y\right)-3\right|\leqq\left|\triangle x+\triangle y\right|\leq\left|\triangle x\right|+\left|\triangle y\right|<2\sqrt{\triangle x^{2}+\triangle y^{2}}\)

[Sk_Anonymous]

Si può risolvere anche utilizzando un approccio di tipo geometrico:

$[f(x,y)=(xy+y^2+x+y)/(y+1)] rarr [f(x,y)=((x+y)(y+1))/(y+1)] rarr [f(x,y)=x+y] ^^ [y!=-1]$

$[lim_((x,y)rarr(4,-1))((xy+y^2+x+y)/(y+1))=3] rarr [lim_((x,y)rarr(4,-1))(x+y)=3]$



$[|x+y-3|

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