Verifica limite

[Sk_Anonymous]

Devo verificare in modo diretto questo limite

lim x->4 (1/x^2) = 16

ma proprio non ci riesco

Qualcuno ha per caso qualche suggerimento? Grazie

[eugenio.amitrano]

Penso sia questo:

Per verificare in modo diretto basta sostituire alla x, il valore di tendenza.
$lim_(x->4)(1/x^2) = 1/4^2 = 1/16$

[Sk_Anonymous]

Intendevo la verifica applicando la definizione di limite

[Mortimer1]

C'è un topic di alcuni giorni fa dove Luca lussardi risponde esurientemente sulle verifiche applicando la definizione di limite. Poi dipende che testo utilizzi e se vi dai o meno una definizione topologica. Prova a postare una verifica del limite.

[Dust1]

Applica la definizione di limite. Risolvi la disequazione $|1/x^2-4|<\epsilon$. Perchè il limite sia verificato bisogna che le soluzioni della disequazione stiano in un intorno di $x0$

[baka1]

Scusate ma perchè $|1/x^2 - 4| per poi diventare $1/16 - epsilon<1/x^2<1/16 + epsilon = 16 - 1/epsilon>x^2>16 + 1/epsilon = sqrt(16 - 1/epsilon)>x>sqrt(16 + 1/epsilon)$ ???

[Luca.Lussardi]

Mi associo a ??? la tua ultima riga scritta è completamente senza senso.

[baka1]

Perchè è senza senso?Dovrebbe essere $|f(x) - l|

Cita

Segnala

[p4ngm4n]

il tuo l è 4 prova e vedi che ti trovi

[baka1]

Non ho ancora capito, $l$ dovrebbe essere il valore del limite e come scritto sopra $lim_(xrarr4)1/x^2 = 1/16$
Perchè allora $l = 4$ ?

[Mortimer1]

Forse Luca Lussardi Si riferiva a Dust, perchè 4 è il punto d'accumulazione e non il limite....

[p4ngm4n]

scusami mi sono confuso...

[baka1]

Però adesso che sono pieno di dubbi vorrei sapere se la mia verifica è esatta, potete aiutarmi?

[Mortimer1]

E' esatta.

[baka1]

Grazie,
stavo iniziando a cercare un paio di libri in cui guardare qualche dimostrazione

[Sk_Anonymous]

Ora che credo di aver capito come si verificano i limiti penso che la verifica di bake sia sbagliata visto che prima di tutto avrebbe dovuto scrivere
$(1-16epsilon)/16$ e poi non ha ottenuto niente ha solo scritto la disequazione iniziale in un altro modo

La verifica giusta credo che sia:

$AA epsilon>0 EE delta>0 // AA x in [4-delta;4+delta] =>|1/(x^2)-1/16|
$|(16-x^2)/(16x^2)|
$|-(x-4)(x+4)/(16x^2)|
$|(x-4)(x+4)|*|-1/(16x^2)|
$|(x-4)(x+4)|*1/(16x^2)
visto che delta è molto piccolo posso prendere $delta<=1$
perciò il valore minimo che il denominatore $16x^2$ può assumere è 48

ottengo $|x-4||x+4|<48epsilon$

il valore max che (x+4) può assumere è 9 e quindi

$|x-4|<48epsilon/9$

il valore di $delta$ sarà perciò il valore minimo tra 1 e $16/3*epsilon$



così dovrebbe essere giusto!!! Almeno spero

[baka1]

Ma infatti non sono in grado di verificare i limiti,
credevo che fosse giusta perchè dato che $epsilon$ è piccolo quanto vogliamo
x era compresa in un intorno di 4 ed inoltre si capiva anche che la funzione fosse pari, comunque se è sbagliata è sbagliata e io ti credo, solo che non riesco a capire alcuni tuoi passaggi

non è che potresti spiegarmi perchè togli il valore assoluto a $|-1/16x^2|$ e da dove salta fuori quel 48?
te ne sarei grato

[Sk_Anonymous]

ho tolto il valore assoluto perchè $1/16x^2$ è una quantità sempre positiva e perciò per togliere il valore assoluto basta togliere il meno.


Però in effetti con il 48 mi sa che ho fatto qualche errore infatti se il valore di $delta$ è $<=1$ allora $4-delta$ vale al minimo 3 quindi $1/(16x^2)$ diventerebbe in realtà $1/(16*9)$ e quindi si avrebbe

$|x-4|<144epsilon/9$

e quindi

il valore di $delta$ sarà perciò il valore minimo tra 1 e $16epsilon$

ora è giusto?