Verifica limite

[oleg.fresi]

Devo verificare questo limite: $lim_(x->2)(x^2+1)=5$. Devo mostrare che $AAepsilon>0 EEdelta_(epsilon)>0 : 0<|x-2||x^2+1-5|

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Risposte

Mephlip

7 nov 2020, 14:28

Ciao! Sai che $|x-2| < \delta_{\varepsilon}$; potresti provare a supporre $\delta_{\varepsilon} < 1$ e usare la disuguaglianza triangolare inversa.

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oleg.fresi

7 nov 2020, 14:59

Ma in generala, quando ho la $f(x)$ espressa come prodotto di qualcosa, come posso ricondurmi a $|x-x_0|$?

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Mephlip

7 nov 2020, 15:32

Non credo esista un modo per farlo con una $f$ generica. Hai provato ad applicare il consiglio che ti ho scritto?

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oleg.fresi

7 nov 2020, 16:56

Non ho capito cosa intendi per diseguaglianza triangolare inversa. Ma non è riduttivo supporre che $delta<1$ ?

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gugo82

7 nov 2020, 16:57

Scusa, Zfres, ma cosa ti impedisce di risolvere la disequazione $|x^2 - 4| < epsilon$?

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Mephlip

7 nov 2020, 17:19

"ZfreS":Non ho capito cosa intendi per diseguaglianza triangolare inversa.

Per ogni $a\in\mathbb{R}$ e per ogni $b\in\mathbb{R}$ vale $||a|-|b|| \leq |a-b|$.

"ZfreS":Ma non è riduttivo supporre che $delta<1$ ?

No, tu devi dimostrare che esiste almeno un $\delta_{\varepsilon}$ tale che $|x-2| < \delta_{\varepsilon}$ implica $|x^2+1-5|<\varepsilon$; inoltre, se tale implicazione vale per un certo $\tilde{\delta}_{\varepsilon}$, vale per ogni $\delta_{\varepsilon}' \leq \tilde{\delta}_{\varepsilon}$.

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oleg.fresi

7 nov 2020, 18:03

Non conoscevo quella versione della dis. triangolare. Rispondendo a gugo, posso anhe risolverla la disequazione, trovando che $sqrt(4-epsilon) $delta_(epsilon)=sqrt(4+epsilon)$.

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gugo82

7 nov 2020, 23:23

Vabbè, e che ci vuole…

Da $ sqrt(4-epsilon)
Questo se vuoi essere proprio preciso; ma già da qui $ sqrt(4-epsilon)

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oleg.fresi

8 nov 2020, 13:53

Perfetto gugo, grazie tante per l'aiuto, adesso mi è chiaro come procedere!

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[Mephlip]

Ciao! Sai che $|x-2| < \delta_{\varepsilon}$; potresti provare a supporre $\delta_{\varepsilon} < 1$ e usare la disuguaglianza triangolare inversa.

[oleg.fresi]

Ma in generala, quando ho la $f(x)$ espressa come prodotto di qualcosa, come posso ricondurmi a $|x-x_0|$?

[Mephlip]

Non credo esista un modo per farlo con una $f$ generica. Hai provato ad applicare il consiglio che ti ho scritto?

[oleg.fresi]

Non ho capito cosa intendi per diseguaglianza triangolare inversa. Ma non è riduttivo supporre che $delta<1$ ?

[gugo82]

Scusa, Zfres, ma cosa ti impedisce di risolvere la disequazione $|x^2 - 4| < epsilon$?

[Mephlip]

"ZfreS":Non ho capito cosa intendi per diseguaglianza triangolare inversa.

Per ogni $a\in\mathbb{R}$ e per ogni $b\in\mathbb{R}$ vale $||a|-|b|| \leq |a-b|$.

"ZfreS":Ma non è riduttivo supporre che $delta<1$ ?

No, tu devi dimostrare che esiste almeno un $\delta_{\varepsilon}$ tale che $|x-2| < \delta_{\varepsilon}$ implica $|x^2+1-5|<\varepsilon$; inoltre, se tale implicazione vale per un certo $\tilde{\delta}_{\varepsilon}$, vale per ogni $\delta_{\varepsilon}' \leq \tilde{\delta}_{\varepsilon}$.

[oleg.fresi]

Non conoscevo quella versione della dis. triangolare. Rispondendo a gugo, posso anhe risolverla la disequazione, trovando che $sqrt(4-epsilon) $delta_(epsilon)=sqrt(4+epsilon)$.

[gugo82]

Vabbè, e che ci vuole…

Da $ sqrt(4-epsilon)
Questo se vuoi essere proprio preciso; ma già da qui $ sqrt(4-epsilon)

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[oleg.fresi]

Perfetto gugo, grazie tante per l'aiuto, adesso mi è chiaro come procedere!