Verifica esercizio sulle serie
Provare che la serie: $sum_(n=0)^(+oo)(x/(1+x^2))^n$ converge totalmente in $RR$ e calcolare la sua somma.
Svolgimento:
La mia prof ci suggerisce di dimostrare che $|x/(1+x^2)|<=1/2$. L'ho dimostrato prendendo la funzione $f(x)=x/(1+x^2)$ e studiandone la derivata prima. Si nota che per $x=1$ c'è un punto di massimo e quindi $f(x)<=f(1)=1/2$, quindi posso dire che:
$sum |f_n(x)| <= sum (1/2)^n <+oo$
quindi c'è convergenza assoluta.
Ora per calcolare la sua somma, rifacendomi al ragionamento di prima, è gratis che $|x/(1+x^2)|<1$ allora la sua somma sarà: $(1+x^2)/(x^2-x+1)$.
Va bene!?
Grazie!
Svolgimento:
La mia prof ci suggerisce di dimostrare che $|x/(1+x^2)|<=1/2$. L'ho dimostrato prendendo la funzione $f(x)=x/(1+x^2)$ e studiandone la derivata prima. Si nota che per $x=1$ c'è un punto di massimo e quindi $f(x)<=f(1)=1/2$, quindi posso dire che:
$sum |f_n(x)| <= sum (1/2)^n <+oo$
quindi c'è convergenza assoluta.
Ora per calcolare la sua somma, rifacendomi al ragionamento di prima, è gratis che $|x/(1+x^2)|<1$ allora la sua somma sarà: $(1+x^2)/(x^2-x+1)$.
Va bene!?
Grazie!
Risposte
Secondo me sì.
Grazie per la conferma!
Altro esercizio sulle serie, questa volta è diviso in punti.
Presa la serie $sum_(n=0)^(+oo) e^(-n^2x)$ determinare:
1)l'insieme dei punti in cui converge puntualmente.
Svolgimento:
Ho pensato che bisognava utilizzare la condizione necessaria per la convergenza, quindi $lim_(n->+oo)f_n(x)=0 <=> x>0$, quindi $I=(0,+oo)$. Una volta fatto questo tramite il criterio della radice si ottiene la convergenza.
2) Stabilire se la serie converge totalmente in $I$, oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la serie converge.
Svolgimento:
Ho studiato $f'_n(x)=e^(-n^2x)(-n^2)$, da cui si capisce che $f_n(x)$ decresce sempre in $I$. Ora lo studio della derivata mi fa capire che il valore più grande si assume per $x=0$, ma in questo punto $f_n(x)=1$ e quindi non ho la totale convergenza.
La totale convergenza la ottengo se mi metto in un compatto, del tipo $[a,b] subset (0,+oo)$.
Che dite va bene così!?
Presa la serie $sum_(n=0)^(+oo) e^(-n^2x)$ determinare:
1)l'insieme dei punti in cui converge puntualmente.
Svolgimento:
Ho pensato che bisognava utilizzare la condizione necessaria per la convergenza, quindi $lim_(n->+oo)f_n(x)=0 <=> x>0$, quindi $I=(0,+oo)$. Una volta fatto questo tramite il criterio della radice si ottiene la convergenza.
2) Stabilire se la serie converge totalmente in $I$, oppure, in caso contrario, stabilire in quali intervalli contenuti in $I$ la serie converge.
Svolgimento:
Ho studiato $f'_n(x)=e^(-n^2x)(-n^2)$, da cui si capisce che $f_n(x)$ decresce sempre in $I$. Ora lo studio della derivata mi fa capire che il valore più grande si assume per $x=0$, ma in questo punto $f_n(x)=1$ e quindi non ho la totale convergenza.
La totale convergenza la ottengo se mi metto in un compatto, del tipo $[a,b] subset (0,+oo)$.
Che dite va bene così!?
E perchè non dovrebbe andare bene un'intervallo del tipo $[a,+oo)$, $a>0$?
Si in effetti anche un intervallo del genere va bene. Quindi la risposta è: Nei compatti del tipo $[a,b] subset I$ e negli intervalli aperti del tipo $[a,+oo)$ c'è convergenza assoluta.
Ora il problema mi si presenta al terzo punto:
3)Stabilire se la somma della serie è una funzione continua in I oppure in quale sotto intervallo è continua.
Sugli appunti che ho le uniche somme che abbiamo calcolato sono quelle delle serie di potenze o geometriche, quindi immagino che è su questo che devo riflettere...ma come posso ricondurmi ad una serie del genere da quella che ho?
Ora il problema mi si presenta al terzo punto:
3)Stabilire se la somma della serie è una funzione continua in I oppure in quale sotto intervallo è continua.
Sugli appunti che ho le uniche somme che abbiamo calcolato sono quelle delle serie di potenze o geometriche, quindi immagino che è su questo che devo riflettere...ma come posso ricondurmi ad una serie del genere da quella che ho?
Attenzione: già il punto 1 è scivoloso; il fatto che il termine generale vada a 0 è necessario per la convergenza, ma non sufficiente.
"Luca.Lussardi":
Attenzione: già il punto 1 è scivoloso; il fatto che il termine generale vada a 0 è necessario per la convergenza, ma non sufficiente.
E' vero ma a primo impatto era l'unica idea che mi era venuta.
Allora...un'informazione sicura che ho è che per avere la convergenza deve essere $x>0$, poi per assicurarmene dovrei fissare x e lavorare con la rispettiva serie numerica e applicare qualche criterio?
Esatto, credo che il criterio della radice sia il più indicato, vista l'espressione del termine generale.
Si si l'avevo già provato per verificare l'eventuale convergenza uniforme, quindi lo inserisco nel post precedente. Per il punto 2) invece?
P.S.
per quanto riguarda il 3) per somma intende in generale oppure vuole che la esplicito proprio?!
P.S.
per quanto riguarda il 3) per somma intende in generale oppure vuole che la esplicito proprio?!
Per il punto 2 va bene ogni intervallo della forma $[a,+\infty)$, quindi anche ogni intervallo $[a,b]$, con $a>0$. Per il punto 3 non serve calcolare la somma (cosa che vedo difficile) ma ci sono teoremi che dicono che se una serie somma di funzioni continue converge totalmente allora la somma è una funzione continua.
Si era quella che volevo fare. Mi sono fatto solo "fregare" dal termine somma, che di solito la prof utilizza quando la vuole calcolare esplicitamente.
Grazie per le precisazioni e in bocca al lupo come sempre per il tuo lavoro!
Grazie per le precisazioni e in bocca al lupo come sempre per il tuo lavoro!
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