Verifica differenziabilità

[Lale1]

Data la funzione f(x,y)=|xy|, mi è stato chiesto di capire se in (1,0) ha le derivate parziali, se è differenziabile, oppure se nessuna di queste risposte è soddisfatta.
Per calcolare le derivate parziali ho utilizzato la definizione, ovvero ho fatto il limite, e ho ottenuto che il gradiente è (0,0)..
Poi per vedere se è differenziabile ho di nuovo applicato la definizione e il risultato, che credo sbagliato, mi torna 1. Infatti la risposta esatta è N.A. (si tratta di un test a risposta multipla).
Come posso risolvere l'esercizio?
Grazie mille per le eventuali risposte...

[gygabyte017]

"Lale":
Per calcolare le derivate parziali ho utilizzato la definizione, ovvero ho fatto il limite, e ho ottenuto che il gradiente è (0,0)..

Non è vero, $f_x(1,0)=0$ è corretta, ma $f_y(1,0)=lim_(k->0)(f(1,k)-f(1,0))/k=lim_(k->0)|k|/k = +-1$ quindi non esiste!

Mi viene una domanda su questa questione però: non derivabilità implica non differenziabilità?! se no, come si calcola $lim_((h,k)->(0,0)) (f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h -f_y(x,y)k)/(sqrt(h^2+k^2))$ se non esiste $gradf$ ?!?

[Alexp1]

Per "gygabyte017",

certo che NON è differenziabile, se la funzione è derivabile, cioè ammette derivate parziali, allora potrebbe (e sottolineo potrebbe) essere differenziabile, ma se già a priori non ammette derivate parziali allora sicuramente non può essere differenziabile.

[gygabyte017]

Perfetto grazie, è che mi era venuto questo dubbio: so che secondo la definizione generale di differenziabilità, la funzione è differenziabile se esiste un'applicazione lineare tale che ecc, e poi ci si accorge che questa applicazione è rappresentata dal gradiente; MA pensavo, esiste una funzione differenziabile con un'applicazione lineare che non coincide con quella del gradiente (oppure che non ci coincide in qualche punto)?? A questo punto direi di no vero?

[Alexp1]

No, se è differenzibile, allora la derivata direzionale è sempre esprimibile come $f_xcos(\theta)+f_ysen(\theta)$

[Lale1]

Grazie mille!! Risposta chiarissima!