Verifica di uno spazio metrico
Sto notando una certa difficoltà nel verificare che una certa coppia (X, d) sia uno spazio metrico.
In particolare, trovo difficoltà nel verificare che vale la disuguaglianza triangolare e mi piacerebbe capire come dovrei procedere. Esempio:
Sia (X, d) uno spazio metrico.
Dimostrare che $ d1(x,y)= (d(x,y)) / (1 + d(x,y)) $ è una distanza su X.
La positività e la simmetria la si verifica molto facilmente (dal momento che d è una distanza), ma non riesco a capire come devo ragionare per verificare la disuguaglianza triangolare.
Grazie anticipatamente!
In particolare, trovo difficoltà nel verificare che vale la disuguaglianza triangolare e mi piacerebbe capire come dovrei procedere. Esempio:
Sia (X, d) uno spazio metrico.
Dimostrare che $ d1(x,y)= (d(x,y)) / (1 + d(x,y)) $ è una distanza su X.
La positività e la simmetria la si verifica molto facilmente (dal momento che d è una distanza), ma non riesco a capire come devo ragionare per verificare la disuguaglianza triangolare.
Grazie anticipatamente!
Risposte
magari è un po' noioso da fare,ma ad occhio mi sembra che non sia un grande problema verificare che
$(d(x,y))/(1+d(x,y))+(d(y,z))/(1+d(y,z))-(d(x,z))/(1+d(x,z)) geq 0$
$(d(x,y))/(1+d(x,y))+(d(y,z))/(1+d(y,z))-(d(x,z))/(1+d(x,z)) geq 0$
Tutto sommato non è nemmeno particolarmente noioso. Una volta osservato che la funzione \(\varphi(t) := t/(1+t)\) è monotona crescente per \(t\geq 0\), usando la disuguaglianza triangolare che vale per \(d\) si ha che
\[
\varphi(d(x,y)) \leq \varphi(d(x,z) + d(y,z))
\]
e a questo punto non è troppo difficile concludere.
\[
\varphi(d(x,y)) \leq \varphi(d(x,z) + d(y,z))
\]
e a questo punto non è troppo difficile concludere.
..................
"Rigel":
Tutto sommato non è nemmeno particolarmente noioso. Una volta osservato che la funzione \(\varphi(t) := t/(1+t)\) è monotona crescente per \(t\geq 0\), usando la disuguaglianza triangolare che vale per \(d\) si ha che
\[
\varphi(d(x,y)) \leq \varphi(d(x,z) + d(y,z))
\]
e a questo punto non è troppo difficile concludere.
Il tuo ragionamento è molto elegante
Ma non mi torna qualcosa...tu dici: dal momento che la funzione
$ f(t) = t / (1 + t $
è monotona crescente, allora presi $a$ e $b$, con $ a < b $ si ha che $ f(a) < f(b) $.
Dato che $d(x,y) <= d (x,z) + d(y,z) $ per definizione allora possiamo concludere che $f (d(x,y)) <= f(d(x,z) + d(y,z)) $ e fin qui tutto torna.
Ma ciò che dobbiamo dimostrare noi è che $ f(d(x,y)) <= f(d(x,z)) + f(d(y,z)) $ ...o sbaglio?
"maurosn":
Ma ciò che dobbiamo dimostrare noi è che $ f(d(x,y)) <= f(d(x,z)) + f(d(y,z)) $ ...o sbaglio?
No, non sbagli. Per fare il passaggio
\[
f(a+b) \leq f(a) + f(b)
\]
(che è quello che ti serve) occorre un ultimo piccolo sforzo.
Purtroppo non sono arrivato alla conclusione...ho pensato alla disuguaglianza triangolare ma non ho trovato qualche connessione.
Ho provato a fare così, ma non so se è corretto.
Devo dimostrare che $ f(a+b) <= f(a) + f(b) $ quindi che
$ (a+b)/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
$ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
Inoltre valgono le relazioni:
$ a/(1+a+b) <= a/(1+a)$ e $ b/(1+a+b) <= b/(1+b) $ dal momento che $a >= 0$ e $b >= 0$
Sommando a membro a membro ottengo dunque:
$ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
Da cui il risultato. Fila il ragionamento?
Devo dimostrare che $ f(a+b) <= f(a) + f(b) $ quindi che
$ (a+b)/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
$ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
Inoltre valgono le relazioni:
$ a/(1+a+b) <= a/(1+a)$ e $ b/(1+a+b) <= b/(1+b) $ dal momento che $a >= 0$ e $b >= 0$
Sommando a membro a membro ottengo dunque:
$ a/(1+a+b) + b/(1+a+b) <= a/(1+a) + b/(1+b) $
Da cui il risultato. Fila il ragionamento?
Perfetto grazie mille! 
ciao, so che è passato un po' di tempo ma tra poco ho esame e il professore chiede la stessa cosa.
Ho diverse domande:
1. A che mi serve sapere che la funzione è monotona e crescente ( il mio professore verifica anche che la funzione φ(t) sia invertibile).
2. A cosa mi serve fare f(a+b)
3. Dopo il tuo ragionamento il mio professore fissa un valore arbitrario a che va da zero ad infinito per ogni t compreso tra 0 e piu infinito e pone
h(t)=φ(t)+φ(a)-φ(t+a) perchè?
Ho diverse domande:
1. A che mi serve sapere che la funzione è monotona e crescente ( il mio professore verifica anche che la funzione φ(t) sia invertibile).
2. A cosa mi serve fare f(a+b)
3. Dopo il tuo ragionamento il mio professore fissa un valore arbitrario a che va da zero ad infinito per ogni t compreso tra 0 e piu infinito e pone
h(t)=φ(t)+φ(a)-φ(t+a) perchè?
ciao, so che è passato un po' di tempo ma tra poco ho esame e il professore chiede la stessa cosa.
Ho diverse domande:
1. A che mi serve sapere che la funzione è monotona e crescente ( il mio professore verifica anche che la funzione φ(t) sia invertibile).
2. A cosa mi serve fare f(a+b)
3. Dopo il tuo ragionamento il mio professore fissa un valore arbitrario a che va da zero ad infinito per ogni t compreso tra 0 e piu infinito e pone
h(t)=φ(t)+φ(a)-φ(t+a) perchè?
Ho diverse domande:
1. A che mi serve sapere che la funzione è monotona e crescente ( il mio professore verifica anche che la funzione φ(t) sia invertibile).
2. A cosa mi serve fare f(a+b)
3. Dopo il tuo ragionamento il mio professore fissa un valore arbitrario a che va da zero ad infinito per ogni t compreso tra 0 e piu infinito e pone
h(t)=φ(t)+φ(a)-φ(t+a) perchè?
Se \((X,d)\) è uno spazio metrico, affinché la funzione \(\tilde{d}(x,y) := \varphi(d(x,y))\) sia anch'essa una distanza su \(X\) è sufficiente che:
1. \(\varphi \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}\) sia crescente;
2. \(\varphi(0) = 0\) e \(\varphi(t) > 0\) per ogni \(t>0\);
3. \(\varphi\) sia sub-additiva (come già spiegato).
Le proprietà 2 servono ad avere annullamento e positività.
La simmetria segue dalla simmetria di \(d\).
Per la triangolare ti servono le proprietà 1 e 3. Infatti
\[
\begin{split}
\tilde{d}(x,y) & = \varphi(d(x,y)) \leq \text{[triangolare per \(d\) e monotonia di \(\varphi\)]}
\\ & \leq \varphi(d(x,z) + d(y,z)) \leq \text{[proprietà 3]}
\\ & \leq \varphi(d(x,z)) + \varphi(d(y,z)).
\end{split}
\]
Immagino che il tuo professore dimostri la sub-additività facendo vedere che la funzione \(h\) è \(\leq 0\), o qualcosa del genere.
1. \(\varphi \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}\) sia crescente;
2. \(\varphi(0) = 0\) e \(\varphi(t) > 0\) per ogni \(t>0\);
3. \(\varphi\) sia sub-additiva (come già spiegato).
Le proprietà 2 servono ad avere annullamento e positività.
La simmetria segue dalla simmetria di \(d\).
Per la triangolare ti servono le proprietà 1 e 3. Infatti
\[
\begin{split}
\tilde{d}(x,y) & = \varphi(d(x,y)) \leq \text{[triangolare per \(d\) e monotonia di \(\varphi\)]}
\\ & \leq \varphi(d(x,z) + d(y,z)) \leq \text{[proprietà 3]}
\\ & \leq \varphi(d(x,z)) + \varphi(d(y,z)).
\end{split}
\]
Immagino che il tuo professore dimostri la sub-additività facendo vedere che la funzione \(h\) è \(\leq 0\), o qualcosa del genere.
Scusa perché h dovrebbe essere minore di zero??
Scusa, intendevo \(\geq 0\). Devi far vedere che \(\varphi\) è sub-lineare, cioè che
\[
\varphi(t+a) \leq \varphi(t) + \varphi(a),\qquad \forall a,t\geq 0.
\]
\[
\varphi(t+a) \leq \varphi(t) + \varphi(a),\qquad \forall a,t\geq 0.
\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo