Verifica di un semplice limite
$lim_(x->pi/2)sinx=1
$|sinx-1| -epsilon):}rArr{(sinx<1+epsilon),(sinx>1-epsilon):}rArr{(2kpi
scelto $epsilon=0$ e $k=0$ si trova l'intorno $(0,2pi)$ di $pi/2
ma epsilon per definizione è un numero positivo diverso da zero... e poi la disequazione non devrebbe essere verificata "per ogni epsilon maggiore di zero"?
$|sinx-1|
scelto $epsilon=0$ e $k=0$ si trova l'intorno $(0,2pi)$ di $pi/2
ma epsilon per definizione è un numero positivo diverso da zero... e poi la disequazione non devrebbe essere verificata "per ogni epsilon maggiore di zero"?
Risposte
Attento! $sinx < 1+epsilon$ con $epsilon > 0$
è SEMPRE verificata! E tantomeno puoi dare
a $epsilon$ il valore 0 perché nella definizione
del limite si dice PER OGNI $epsilon > 0$...
Quindi scrivere $arcsin(1+epsilon)$ non ha nessun
significato! La prima disuguaglianza è valida
$AAx in RR$, la seconda, ovvero
$sinx>1-epsilon$ è verificata per i valori
di x che hai detto tu, ovvero
$arcsin(1-epsilon) + 2kpi < x < pi - arcsin(1-epsilon) + 2kpi, k in ZZ
Quindi la disequazione $|sinx-1|
Adesso occorre selezionare $delta=delta(epsilon)$
come da definizione di limite.
Innanzitutto diamo a $k$ il valore $0$, otteniamo
così l'intervallo $(arcsin(1-epsilon),pi-arcsin(1-epsilon))$.
Poiché questo dev'essere un intorno di $pi/2$ del tipo
$(pi/2 - delta, pi/2 + delta)$ dovremo porre:
$pi/2 - delta = arcsin(1-epsilon) <=> delta = pi/2 - arcsin(1 - epsilon) = arc cos (1-epsilon)
$pi/2 + delta = pi - arcsin(1-epsilon) <=> delta = arc cos(1 - epsilon)
e le soluzioni delle due equazioni coincidono, dunque abbiamo finito di verificare il limite,
perché abbiamo scritto $delta$ in funzione di $epsilon$.
Che poi debba essere $0 <= epsilon <=2$ affinché abbia senso scrivere $arcsin(1-epsilon)$ è un altro discorso, credo...
è SEMPRE verificata! E tantomeno puoi dare
a $epsilon$ il valore 0 perché nella definizione
del limite si dice PER OGNI $epsilon > 0$...
Quindi scrivere $arcsin(1+epsilon)$ non ha nessun
significato! La prima disuguaglianza è valida
$AAx in RR$, la seconda, ovvero
$sinx>1-epsilon$ è verificata per i valori
di x che hai detto tu, ovvero
$arcsin(1-epsilon) + 2kpi < x < pi - arcsin(1-epsilon) + 2kpi, k in ZZ
Quindi la disequazione $|sinx-1|
Adesso occorre selezionare $delta=delta(epsilon)$
come da definizione di limite.
Innanzitutto diamo a $k$ il valore $0$, otteniamo
così l'intervallo $(arcsin(1-epsilon),pi-arcsin(1-epsilon))$.
Poiché questo dev'essere un intorno di $pi/2$ del tipo
$(pi/2 - delta, pi/2 + delta)$ dovremo porre:
$pi/2 - delta = arcsin(1-epsilon) <=> delta = pi/2 - arcsin(1 - epsilon) = arc cos (1-epsilon)
$pi/2 + delta = pi - arcsin(1-epsilon) <=> delta = arc cos(1 - epsilon)
e le soluzioni delle due equazioni coincidono, dunque abbiamo finito di verificare il limite,
perché abbiamo scritto $delta$ in funzione di $epsilon$.
Che poi debba essere $0 <= epsilon <=2$ affinché abbia senso scrivere $arcsin(1-epsilon)$ è un altro discorso, credo...
intanto il limite equivale a quello per $x->0$ di $cosx$. Osserva che per $x>0$ si ha $-x+1\le cosx\le 1$, per cui il limite da destra è 1. Cosa analoga con $x+1$ al posto di $-x+1$ per il limite da sinistra.
ciao, ubermensch
ciao, ubermensch
Uber, però andava usata la definizione...
Forse un modo per evitare la costrizione $epsilon in (0,2]$ c'è...
Ad esempio calcolando il polinomio di Taylor
all'ordine 1, centrato in $epsilon=1$ della funzione
$f(epsilon)=arc cos(1-epsilon)$ si ottiene
$T_1(epsilon) = pi/2 - 1 + epsilon
e a questo punto si può scegliere $delta=pi/2-1+epsilon " " AAepsilon > 0$.
Si osservi che $delta >0 " " AAepsilon>0$ come richiesto dalla def. di limite.
Vorrei però sapere se è corretto il ragionamento che ho fatto.
Ad esempio calcolando il polinomio di Taylor
all'ordine 1, centrato in $epsilon=1$ della funzione
$f(epsilon)=arc cos(1-epsilon)$ si ottiene
$T_1(epsilon) = pi/2 - 1 + epsilon
e a questo punto si può scegliere $delta=pi/2-1+epsilon " " AAepsilon > 0$.
Si osservi che $delta >0 " " AAepsilon>0$ come richiesto dalla def. di limite.
Vorrei però sapere se è corretto il ragionamento che ho fatto.
Non serve nessuna costrizione, per altro la definizione di limite richiede che si debba trovare un $\delta$ per ogni $\epsilon>0$.
Se $\epsilon \in (0,2]$ allora l'insieme degli $x$ per cui $\sen x >1-\epsilon$ contiene l'intervallo $(\arcsen(1-\epsilon),\pi-\arcsen(1-\epsilon))$ e quindi basta scegliere $\delta=\pi/2-\arcsen(1-\varepsilon)$. Se invece $\epsilon>2$ è sempre vero che $sen x>1-\varepsilon$, per cui ogni valore di $\delta$ verifica la definizione di limite.
Se $\epsilon \in (0,2]$ allora l'insieme degli $x$ per cui $\sen x >1-\epsilon$ contiene l'intervallo $(\arcsen(1-\epsilon),\pi-\arcsen(1-\epsilon))$ e quindi basta scegliere $\delta=\pi/2-\arcsen(1-\varepsilon)$. Se invece $\epsilon>2$ è sempre vero che $sen x>1-\varepsilon$, per cui ogni valore di $\delta$ verifica la definizione di limite.
Giusto!
scusa Francè, ma non mi sembra di aver letto da nessuna parte
che "andava usata la definizione".
che "andava usata la definizione".
E infatti il non averlo letto neanche io al compito d'esame,
per distrazione, mi è costato 0 punti per quell'esercizio!
micheletv doveva specificare meglio, comunque intendeva con la definizione.
per distrazione, mi è costato 0 punti per quell'esercizio!
micheletv doveva specificare meglio, comunque intendeva con la definizione.
anche se in realtà intendevo 'con la definizione' non l'ho specificato perchè sono interessato anche a qualche altra vostra idea.
ciaoooo
ciaoooo
@fire: mi dispiace che il tuo prof abbia penalizzato un procedimento più elegante
a dispetto di uno più meccanico... ma forse all'inizio è anche giusto così!
a dispetto di uno più meccanico... ma forse all'inizio è anche giusto così!
Al primo appello di Analisi ho dimostrato che
$lim_(x->1^+) |2-(3x-3)^2|=2
ma senza definizione! Avevo fatto così:
$2-(3x-3)^2 < |2-(3x-3)^2| < 2 + (3x-3)^2
per ogni $x!=1$, usando la disuguaglianza triangolare.
Quindi per ogni $epsilon>0$, la proprietà
$2-epsilon < f(x)<2+epsilon$ era sempre vera
$AAx !=1$, infatti $(3x-3)^2>0 " "AAx!=1$,
e bastava selezionare il $delta$ in funzione di $epsilon$,
cosa che però a questo punto non sapevo come fare.
$lim_(x->1^+) |2-(3x-3)^2|=2
ma senza definizione! Avevo fatto così:
$2-(3x-3)^2 < |2-(3x-3)^2| < 2 + (3x-3)^2
per ogni $x!=1$, usando la disuguaglianza triangolare.
Quindi per ogni $epsilon>0$, la proprietà
$2-epsilon < f(x)<2+epsilon$ era sempre vera
$AAx !=1$, infatti $(3x-3)^2>0 " "AAx!=1$,
e bastava selezionare il $delta$ in funzione di $epsilon$,
cosa che però a questo punto non sapevo come fare.
A difesa del professore, in genere se un testo dice "verificare che $\lim_(x \to x_0)f(x)=L$ è abbastanza sottinteso che vada verificata la definizione di limite, ritengo. Non è chiaramente detto esplicitamente, però è solo una questione terminologica.
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