VERIFICA di un limite in due variabili

[entropy1]

Salve a tutti, è il mio primo post,e dopo aver scorso un poco gli argomenti analoghi nel sito, non ho trovato una risposta analoga. Mi trovo costretto a chiedere aiuto. Il problema riguarda la verifica (NON IL CALCOLO, come molti sbagliando fanno), di un limite a due variabili, che è il seguente

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)$ $(2-sqrt{xy+4})/(xy)$= $-$$\frac{1}{4}$

ho tentato varie strade (e chiesto inutilmente in giro), ma senza alcun successo significativo. Se c'è qualcuno che riesce, quanto meno a fornire qualche indicazione utile per arrivare alla soluzione, gliene sarei grato.

N: B. non sono riuscito a mettere $lim$ ${\x\to\0} {\y\to\0}$ uno sopra l'altro, solo per curiosità, come si fa?

[ciampax]

Per verificare quel limite devi usare la definizione: in questo caso
$$\forall\ \epsilon>0\ \exists\ B_r(0,0),\ r>0\ :\ \forall (x,y)\in B_r(0,0)\ \Rightarrow\ |f(x,y)+1/4|<\varepsilon$$
Qui $B_r(0,0)$ è la palla aperta di centro l'origine e raggio $r$. L'appartenenza del punto alla palla implica che $x^2+y^2

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[totissimus]

Considerato che \( xy\geq -4\) abbiamo:

\(\displaystyle
\left|f(x,y)+\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}+\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{xy+8-4\sqrt{xy+4}}{4xy}\right|=\left|\frac{xy}{4\left(xy+8+4\sqrt{xy+4}\right)}\right|=\frac{\left|xy\right|}{4\left(xy+8+4\sqrt{xy+4}\right)}<\frac{\left|xy\right|}{4\left(-4+8+4\sqrt{xy+4}\right)}=\frac{\left|xy\right|}{4\left(4+4\sqrt{xy+4}\right)}<\frac{\left|xy\right|}{16}
\)

[ciampax]

"totissimus":Considerato che \( xy\geq -4\) abbiamo:

\(\displaystyle
\left|f(x,y)+\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{2-\sqrt{xy+4}}{xy}+\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{xy+8-4\sqrt{xy+4}}{4xy}\right|=\left|\frac{xy}{4\left(xy+8+4\sqrt{xy+4}\right)}\right|=\frac{\left|xy\right|}{4\left(xy+8+4\sqrt{xy+4}\right)}<\frac{\left|xy\right|}{4\left(-4+8+4\sqrt{xy+4}\right)}=\frac{\left|xy\right|}{4\left(4+4\sqrt{xy+4}\right)}<\frac{\left|xy\right|}{16}
\)

Ehm... e quindi?

[ritardato1]

@ciampax: come e quindi ?
Se fissiamo \( \epsilon\) allora per \( x^2+y^2<\epsilon\) abbiamo \( |xy|<\epsilon\) e quindi:
\( \displaystyle \left|f(x,y)+\frac{1}{4}\right|<\frac{\left|xy\right|}{16}<\frac{\epsilon}{16}<\epsilon \).
Ciao.

[ciampax]

Era quello che chiedevo a totissimus: non aveva mica finito di scriverlo!