Verifica di un limite con il teorema del confronto.

[galles90]

Buonasera,
Verificare il seguente limite con il teorema del confronto
\(\displaystyle lim_{x\to-\infty}senxarcotgxe^x=0 \)

vi riporto il mio procedimento; considerando che \(\displaystyle x\to -\infty \) posso considerare la seguente relazione 1) \(\displaystyle tgx\ge x \ge senx \) considero i reciproci \(\displaystyle \tfrac{1}{senx}\ge \tfrac{1}{x} \ge \tfrac{cosx}{senx} \) moltiplico tutti i termini per \(\displaystyle senx (<0) \) ottengo la diseguaglianza \(\displaystyle cosx\le \tfrac{senx}{x}\le 1 \).
Da cui \(\displaystyle |senxarcotgxe^x|\le arcotgxe^x \), quindi \(\displaystyle lim_{x\to -\infty} arcotgxe^x=(-\tfrac{\pi}{2})(0)=0\)
Il mio dubbio è sulla diseguaglianza 1) non so se va bene

[mic999]

io lo risolverei cosi:

$lim_{x -> - infty} e^x * arctan(x)*sin(x)=lim_{x -> - infty} e^x *sin(x)/{1/arctan(x)}$
per il numeratore applichi il teo dl conftonto sapendo che :
$-1<=sinx<=1$ da cui $lim_{x -> - infty} e^x *(-1)<=lim_{x -> - infty} e^x *sinx<=lim_{x -> - infty} e^x *1$ quindi il limite è =0
per $lim_{x->-infty} 1/arctan(x)$ il risultato è immediato èd $=-2/pi$..
il limite di partenza è quindi =0

[galles90]

Ciao mic999
ma i passaggi che ho fatto sono corretti, cioè la 1) ha senso ?
Nell'eventualità che sia valida, perchè sicuramente è valita per \(\displaystyle -\tfrac{pi}{2}
Ciao.

[pilloeffe]

Ciao galles90,

"galles90":ma i passaggi che ho fatto sono corretti [...] ?

No, la disuguaglianza $cos x \le frac{sin x}{x} \le 1 $ vale per $-\pi/2 < x < 0 $ e per $0 < x < \pi/2 $, per cui non la puoi usare nel caso in cui $x \to -\infty $
Dai un'occhiata anche a questo thread.

[galles90]

Grazie pilloeffe