VERIFICA DI UN LIMITE

[klonoa1]

Scusate qualcuno di voi sa spiegarmi come si fa la verifica di questo limite?vorrei i passaggi
$\lim_{x \to \+infty}(x^2+1)/(x)=+infty$

aiutatemi xfavore

[bad.alex]

"klonoa":Scusate qualcuno di voi sa spiegarmi come si fa la verifica di questo limite?vorrei i passaggi
$\lim_{x \to \+infty}(x^2+1)/(x)=+infty$

aiutatemi xfavore

raccogli la x^2 al numeratore ottenendo $x^2(1+1/x^2)$. semplifichi con la x che hai al denominatore. poichè 1/x^2 tende a zero allora il limite di f(x) per x che tende a più infinito tende a più infinito. il numeratore ha grado maggiore del denominatore.

alex

[klonoa1]

"bad.alex":[quote="klonoa"]Scusate qualcuno di voi sa spiegarmi come si fa la verifica di questo limite?vorrei i passaggi
$\lim_{x \to \+infty}(x^2+1)/(x)=+infty$

aiutatemi xfavore

raccogli la x^2 al numeratore ottenendo $x^2(1+1/x^2)$. semplifichi con la x che hai al denominatore. poichè 1/x^2 tende a zero allora il limite di f(x) per x che tende a più infinito tende a più infinito. il numeratore ha grado maggiore del denominatore.

alex[/quote]

grazie alex,
ma non era quello che mi serviva...è una cosa+lunga... è un esercizio dove c'è una M (x^2+1)/(x)maggiore di M
poi la M si deve portare al primo membro so
k si fa il minimo comune multiplo e poi si pone sia il numeratore che il denominatore maggiore di zero ma dopo?è la verifica non è un limite normale come
quello che si ha in uno studio di funzione..
spero di essere stata chiara
grazie lo stesso

[bad.alex]

domf= R\{0}
per ogni $k>0$ esiste un sottoinsieme di R appartenente all'intorno di più infinito tale che
$(x^2+1) / x > k$
$x^2-kx> -1$ la x^2 è sempre positiva quindi verifica la disuguaglianza per ogni x. se scegliamo k spero di non aver sbagliato una seconda volta ( che figura!!!! )
alex

[Luca.Lussardi]

La cosa è un po' più articolata. Va verificato che per ogni $M>0$ esiste $N \in \RR$ tale per cui per ogni $x>N$ si abbia $f(x)>M$. La disuguaglianza $f(x)>M$ equivale a $x^2-Mx+1>0$. Se $M<2$ allora tale disequazione è sempre verificata; altrimenti posto $N=(M+sqrt(M^2-4))/2$ si ha che per ogni $x>N$ è verificato $x^2-Mx+1>0$.

[klonoa1]

grazie mille ragazzi

[gugo82]

"klonoa":Scusate qualcuno di voi sa spiegarmi come si fa la verifica di questo limite?vorrei i passaggi
$\lim_{x \to \+infty}(x^2+1)/(x)=+infty$

aiutatemi xfavore

I calcoli fatti da alex mostrano chiaramente che il limite vale effettivamente $+oo$. Ora ti viene chiesto di verificare il risultato usando la definizione di limite che ricordo qua sotto:

(*) $quad AA M >0, exists delta_M>0:quad AA x>delta_M, quad(x^2+1)/(x)>M$.

Come si fa?
Una regola generale è la seguente: devi trattare la disuguaglianza che figura in (*) come una disequazione nella variabile $x$ da risolvere considerando $M$ come se fosse un parametro fissato positivo. Dopo aver fatto ciò lasci $M$ libero di variare e vedi che succede.

Proviamo.
Innanzitutto risolviamo la disequazione col parametro $M$. Abbiamo:

$(x^2+1)/(x)>M quad hArr quad x^2+1>Mx quad hArr quad x^2-Mx+1>0$;

l'ultima disequazione è risolta per ogni $x in RR$ se $Delta=M^2-4<0$, ossia se $M<2$; d'altra parte, se $Deltage0$, ossia se $M>2$, allora la disequazione ha soluzioni nell'insieme $x<(M-sqrt(M^2-4))/2$ oppure $x>(M+sqrt(M^2-4))/2$.
Visto che stai risolvendo un limite per $xto +oo$ ti interessano solo i valori positivi della variabile, quindi: nel caso $M<2$, puoi prendere i soli x>0, mentre nel caso $Mge 2$ puoi considerare solo le $x>(M+sqrt(M^2-4))/2$.

Ora vediamo cosa succede facendo variare $M$.
Mettiamoci nel caso $Mge2$: se poniamo $delta_M=(M+sqrt(M^2-4))/2$, allora la disequazione $(x^2+1)/(x)>M$ è sicuramente verificata per $x>delta_M$ (basta ripercorrere a ritroso le implicazioni scritte sopra). Ne consegue che la definizione di limite, limitatamente al caso in esame, è verificata se si pone $delta_M=(M+sqrt(M^2-4))/2$.
In particolare per $M=2$ trovi $delta_2=1$.

D'altra parte scegliamo $0delta_2=1$, troviamo certamente $(x^2+1)/(x)>2$ e visto che $2>M$, quanto scritto implica che per $x>1$ si ha certamente $(x^2+1)/(x)>M$. Quindi per $M<2$ poniamo $delta_M=delta_2=1$ e la definizione di limite è sicuramente verificata.

In generale, quindi, comunque si sceglie $M>0$ posto $delta_M=max{2,(M+sqrt(M^2-4))/2}$, per $x>delta_M$ si avrà certamente $(x^2+1)/(x)>M$.
Quindi il limite della funzione in esame è proprio $+oo$.

[Luca.Lussardi]

Mi sembrava ci fosse già la risposta più che esauriente, no?

[gugo82]

"Luca.Lussardi":Mi sembrava ci fosse già la risposta più che esauriente, no?

Sì, scusa Luca... Ho postato d'impulso, senza leggermi tutto il thread, mea culpa.

[klonoa1]

grazie mille Gugo xavermi dato 1approfondita spiegazione