Verifica di un limite

[littlestar-votailprof]

Non so come verificare questo limite:

$lim_(x->1)((x+1/x-3))=-1$

arrivo al sistema formato dalle 2 disequazioni:

$(2(2-ε)+3ε-2)/x-3<0$

$(2(2+ε)-3ε-2)/x-3>0$

Non so come andare oltre...qui non posso supporre che in un intorno di 1 il polinomio al denominatore sia positivo...che fare?Devo distinguere i vari casi con ε??

(Ma devo trovare alla fine un intorno simmetrico di -1 o basta che contenga -1?)

[littlestar-votailprof]

Scusate ho scritto male la funzione

Numeratore:$x+1$
Denominatore:$x-3$

[littlestar-votailprof]

$lim_(x->1)((x+1)/(x-3)=-1$

[Sk_Anonymous]

$|(x+1)/(x-3)+1| -epsilon):}rArr{((x(2-epsilon)-2+3epsilon)/(x-3)<0),((x(2+epsilon)-2-3epsilon)/(x-3)>0):}$ ipotesi $epsilon in (0,2) rArr{(x in (1-(2epsilon)/(2-epsilon),3)),(x in (-oo,1+(2epsilon)/(2+epsilon))uu(3,+oo)):}$ cioè $x in (1-(2epsilon)/(2-epsilon),1+(2epsilon)/(2+epsilon))$
che è un intorno di 1. salvo errori di valutazione

[Luca.Lussardi]

Non puoi fare delle ipotesi su $\epsilon$, la definizione di limite vuole "per ogni $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che...". E' vero "interessa solo" che $\epsilon$ sia piccolo, ma mettere una condizione non porta alla verifica formale della definizione di limite.

[fireball1]

Sì infatti, stavo per postarlo pure io ma non ero sicurissimo al 100%...
Poi in ogni caso dopo che hai trovato l'intorno
devi selezionare il $delta=delta(epsilon)$
come da definizione di limite.

[fireball1]

@micheletv
Secondo te quale è il giusto $delta$
da selezionare in funzione di $epsilon$
affinché si abbia la definizione di limite?

[Sk_Anonymous]

nel caso in cui $epsilon in (2,+oo)$ le soluzioni del sistema sono $S_1=(-oo,3)uu(1-(2epsilon)/(2-epsilon),+oo)$ ed $S_2=(-oo,1+(2epsilon)/(2+epsilon))uu(3,+oo)
cioè $S_1nnS_2=(-oo,1+(2epsilon)/(2+epsilon))uu(1-(2epsilon)/(2-epsilon),+oo)

e l'intervallo $(-oo,1+(2epsilon)/(2+epsilon))$ è un intorno di 1

[Sk_Anonymous]

a proposito del delta non so bene cosa dirti anche perchè nel secondo caso abbiamo un intervallo illimitato. tu casa ne dici?

[fireball1]

Ne dico che per la definizione di limite occorre che
sia $delta=delta(epsilon)>0$ per OGNI $epsilon>0$.
Adesso, $(2epsilon)/(2-epsilon) > 0 <=> 0 < epsilon < 2
mentre invece $(2epsilon)/(2+epsilon)>0 " " AAepsilon>0$,
quindi bisognerà scegliere $delta=(2epsilon)/(2+epsilon)$
e l'intorno sarà $(1-delta,1+delta)=(1-(2epsilon)/(2+epsilon),1+(2epsilon)/(2+epsilon))