Verifica di un limite (200669)

[xergo94]

Salve, mi aiutate a risolvere la verifica di questo limite:

Sono giunto fin qui. Il resto non riesco a risolverlo, mi potete dare qualche suggerimento?

[carminepullano90]

Ciao, non riesco a capire cosa centra quella "m" quando invece puoi sostituire alla x un valore infinitesimale come 0+ visto che la x non deve essere uguale a 0. Se sostituisci 0+ la radice di 0+ sarà sempre 0+ più il log di 0+ che come puoi vedere graficamente tende a meno infinito. Facendo così avrai che il limite esce meno infinito...

Prova...Penso si risolva così

[xergo94]

Veramente bisogna verificare il limite applicando la definizione:

∀ m > 0 ∃ δ>0 tale che ∀ x ε X, 0 < |x-x0| < δ si ha f(x) < -m

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, vediamo di mettere un po' di ordine in questo thread.

Innanzitutto, @carminepullano90, occhio che è richiesta
la verifica di tale limite, non il proprio calcolo (dato che
il "risultato" è già fornito, tra l'altro).

Quanto a te, @xergo94, la disequazione

[math]\small 3\sqrt{x} + \log x < - M[/math]

è impen-
sabile di poterla risolvere per via algebrica: infatti questo non è richiesto.

Dato

[math]M > 0[/math]

, è richiesto di trovare

[math]\delta > 0[/math]

tale
che

[math]0 < x < \delta \; \; \Rightarrow \; \; 3\sqrt{x} + \log x < - M\\[/math]

.

L'idea è quella di trattare i due addendi, tenendo conto che

[math]3\sqrt{x}\to 0[/math]

e

[math]\log x \to -\infty[/math]

. Dalla crescenza di tali funzioni, segue immediatamente
che

[math]\small 0 < x < 1 \; \; \Rightarrow \; \; 0 < 3\sqrt{x} < 3[/math]

e

[math]\small 0 < x < e^{-M-3} \; \; \Rightarrow \; \; \log x < -M-3[/math]

.
Allora:

[math]0 < x < \delta = \min\left\{e^{-M-3}, \; 1\right\} \; \; \Rightarrow \; \; 3\sqrt{x} + \log x < - M\\[/math]

.

Tutto qui. ;)

[carminepullano90]

in effetti hai ragione....sono un po arrugginito su queste cose :)

prova a vedere se così va bene...il problema è che è giusto fin dove sei arrivato però non si riesce a isolare la X, quindi penso che l'unico modo sia analizzare i singoli termini..

spero che non mi sbaglio di nuovo in quello che ho scritto :)