Verifica di un limite
Potete aiutarmi a verificare il seguente limite?
$ \lim_(x rarr + oo)[ln (x)+e^x]=+oo $
$ \lim_(x rarr + oo)[ln (x)+e^x]=+oo $
Risposte
Per $ x \to + \infty $,
\[ e^x + \ln (x) > e^x \]
quindi ti basta verificare che, preso comunque un $M > 0$ da un certo $x$ in poi
\[ e^x > M \]
e questo è immediato, basta prendere ad esempio $ M = e^{\lambda} $; per il teorema del valore intermedio, essendo la funzione continua, possiamo sempre scegliere un simile $M$; ora, preso un qualsiasi $ x > \lambda$, visto che la funzione esponenziale è strettamente crescente, avremo che
\[ e^x > e^{\lambda} = M \]
e quindi
\[ e^x + \ln (x) > M \]
QED
\[ e^x + \ln (x) > e^x \]
quindi ti basta verificare che, preso comunque un $M > 0$ da un certo $x$ in poi
\[ e^x > M \]
e questo è immediato, basta prendere ad esempio $ M = e^{\lambda} $; per il teorema del valore intermedio, essendo la funzione continua, possiamo sempre scegliere un simile $M$; ora, preso un qualsiasi $ x > \lambda$, visto che la funzione esponenziale è strettamente crescente, avremo che
\[ e^x > e^{\lambda} = M \]
e quindi
\[ e^x + \ln (x) > M \]
QED
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