Verifica di un limite

[CaMpIoN]

Devo verificare il seguente limite
\(\displaystyle \lim_{x \to n^-} \lfloor x\rfloor=n, n \in \mathbb{Z} \)
So' già che questo limite è sbagliato, mentre l'esatto è
\(\displaystyle \lim_{x \to n^-} \lfloor x\rfloor=n-1 \)
Applicando la definizione di limite sinistro al primo ottengo però che esso è valido. Io l'esercizio lo risolvo in questo modo:
La definizione $\varepsilon-\delta$ per il limite è
\(\displaystyle \forall \varepsilon>0 \; \exists \delta>0: \forall x \in D \; n-\delta Estendo la seconda disuguaglianza:
\(\displaystyle n-\varepsilon<\lfloor x\rfloor Per una proprietà della funzione parte intera inferiore si ha
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1 \)
Di cui è una conseguenza la seguente disuguaglianza:
\(\displaystyle n-\varepsilon<\lfloor x\rfloor\leq x\)
Che porta alla seguente:
\(\displaystyle n-\varepsilon Essendo un limite sinistro esso si valuta in $x \(\displaystyle n-\varepsilon che è un intorno sinistro di $n$, quindi il limite sembra verificato. Anche facendo delle prove però, come ad esempio per il numero $2$ per cui si ha
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \lfloor x\rfloor=1 \)
il limite non è verificato, per questo ho sbagliato qualcosa nella verifica, cosa?

[onlyReferee]

Ciao CaMpIoN
Nella verifica finale dimentichi che tu hai $2^{-}$ e pertanto arrivi da sinistra a quel valore senza raggiungerlo di fatto. Pertanto hai $\lim_{x \rightarrow 2^{-}} \lfloor x \rfloor = \lfloor 2^{-} \rfloor = 1$.

[CaMpIoN]

Non è questo il problema, il problema è che mi trovo verificata la condizione
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \lfloor x\rfloor=2\)
Nonostante si abbia quella che anche tu hai scritto.
La verifica in un generico $n$ l'ho scritta sopra, ed ovviamente, in quanto non mi trovo con i risultati, ce qualcosa di sbagliato, vorrei sapere dai più bravi di me quale sia la cosa sbagliata nella verifica. Ti ringrazio per la risposta

[onlyReferee]

Secondo me il fatto è molto più semplice di ciò che pensiamo. Correggendo ciò che ho scritto prima perché il tutto abbia un senso deve essere che \[\nexists \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \lfloor x \rfloor\]
Difatti se osservi [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Parte_intera#mediaviewer/File:Floor_function.svg]qui[/url] il grafico della funzione parte intera questo ci indica come la stessa sia una funzione discontinua. In particolare quanto accade in $2^{-}$ avviene per qualsiasi $n$, sempre arrivando da sinistra. Non a caso vedi quella sorta di "pallini vuoti" quando arrivi ad $n$ da sinistra e quei "pallini pieni" quando invece arrivi ad $n$ da destra. Difatti nel caso da te proposto \[\nexists \lim_{x \rightarrow 2^{+}} \lfloor x \rfloor = 2\]
Tutto questo ci dice che è giusto che non si riesca ad effettuare la verifica del limite da te proposto (da sinistra quindi) per il semplice fatto che tale limite non esiste.
Infine concludo dicendo che il fatto che il limite esista a destra e non a sinistra per i vari $n$ è coerente col fatto che la funzione sia discontinua (in base ad una delle possibili definizioni della stessa infatti se $\exists x_0 \in \mathcal{D}(f(x)) | \lim_{x \rightarrow x_0^{+}} f(x) \ne \lim_{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ allora la funzione è discontinua).
Spero di esserti stato di maggiore aiuto rispetto a prima .

[CaMpIoN]

"onlyReferee":...
Difatti se osservi [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Parte_intera#mediaviewer/File:Floor_function.svg]qui[/url] il grafico della funzione parte intera questo ci indica come la stessa sia una funzione discontinua. In particolare quanto accade in $2^{-}$ avviene per qualsiasi $n$, sempre arrivando da sinistra. Non a caso vedi quella sorta di "pallini vuoti" quando arrivi ad $n$ da sinistra e quei "pallini pieni" quando invece arrivi ad $n$ da destra...

Il limite si calcola a prescindere dal valore che la funzione assume nel punto $x_0$ a cui la $x$ tende, quindi il fatto che vedi i pallini vuoti non significa che il limite sinistro non esiste. Difatti invece esiste, e come dice il libro vale
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \lfloor x\rfloor=1 \)
Il fatto che la funzione sia poi valutata anche nel punto $x_0$ ci può informare se essa è continua o no in tale punto.
Infatti una funzione $f$ è continua a sinistra (destra) in $x_0$ se:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0^-} f(x)=f(x_0) \qquad \left(\lim_{x \to x_0^+} f(x)=f(x_0)\right) \)

Premesso questo voglio dimostrare che la funzione è continua a destra in ogni punto $n \in \mathbb{Z}$ e discontinua a sinistra in ogni punto $n \in \mathbb{Z}$. Basta quindi dimostrare che il limite fuori parentesi sopra sia verificato e che quello dentro parentesi no. In modo strano si ha che entrambi i limiti sono verificati, quando invece anche il libro con un esempio mostra che la funzione è continua a destra nel punto $2$ ma non a sinistra.
La verifica del primo limite va quindi bene. Quella del limite in parentesi, ovvero che la funzione sia continua a sinistra, è falsa in quanto non può essere verificata mentre lo è, e vorrei capire cosa sbaglio che mi porta a questo risultato.

[CaMpIoN]

Credo di aver capito il mio errore, ma forse mi sbaglio per l'ennesima volta.
Praticamente io dalla seguente disuguaglianza:
\(\displaystyle n-\varepsilon<\lfloor x\rfloor \leq x \)
Arrivo alla seguente
\(\displaystyle n-\varepsilon Senza considerare il fatto che può valere questa, ma non valere questa sotto che escludo:
\(\displaystyle n-\varepsilon<\lfloor x\rfloor \)
Quindi seguo una strada sbagliata.
Secondo voi il motivo è questo?

[onlyReferee]

Vado un po' di fretta. Chiedo venia per il mio errore di prima, il limite esiste sinistro in quel punto esiste ed è diverso da quello destro (la funzione comunque è discontinua in $n \in Z$).
Appena ho un attimo di tempo riverifico meglio il procedimento di verifica dei limiti.

[CaMpIoN]

Considerando i seguenti limiti
\(\displaystyle \lim_{x \to n^+} \{x\}=0 \qquad \lim_{x \to n^-} \{x\}=1\)
E la seguente identità
\(\displaystyle \lfloor x\rfloor=x-\{x\} \)
Si può risolvere il problema, preso un $n \in \mathbb{Z}$, applichiamo il limite destro di $n$ ad entrambi i membri
\(\displaystyle \lim_{x \to n^+} \lfloor x\rfloor=\lim_{x \to n^+} (x-\{x\})=\lim_{x \to n^+} x-\lim_{x \to n^+} \{x\}=n\)
E si ottiene
\(\displaystyle \lim_{x \to n^+} \lfloor x\rfloor=n \)
Applichiamo il limite sinistro ad entrambi i membri sempre per lo stesso $n$ si ha invece
\(\displaystyle \lim_{x \to n^-} \lfloor x\rfloor=\lim_{x \to n^-} (x-\{x\})=\lim_{x \to n^-} x-\lim_{x \to n^-} \{x\}=n-1\)
E si ottiene
\(\displaystyle \lim_{x \to n^-} \lfloor x\rfloor=n-1 \)
Nel caso del limite destro, ottengo che esso è uguale a $\lfloor n\rfloor=n$, mentre nel caso del limite sinistro ottengo che esso è uguale a $n-1\ne \lfloor n\rfloor=n$. Concludo dicendo che la funzione è continua a destra ma non a sinistra in ogni numero relativo.

Riesco a risolvere l'esercizio, però utilizzo altri limiti, destro e sinistro, da dimostrare. In questo caso però i due limiti hanno valore noto numerico. Forse qualcuno conosce la verifica dei due limiti? vi ringrazio in anticipo.