Verifica di un limite.

[nic1988]

Buon pomeriggio a tutti.
Risolvendo il seguente limite mi trovo di fronte al problema.
Devo verificare che

$\lim_{x \to \+infty} e^-x[(2alpha-beta)e^x + (-alpha+beta)e^(2x)]=1$

In pratica devo trovare $alpha$ e $beta$ ma devo aver sbagliato qualcosa perché a me viene fuori $2$

$\lim_{x \to \+infty} [2alpha - beta + (-alpha+beta)e^x]$ (ho moltiplicato le $e$)

Il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti

$\lim_{x \to \+infty} 2alpha - \lim_{x \to \+infty} beta + \lim_{x \to \+infty} (-alpha+beta)e^x=1$

Dal primo limite risulta $2alpha=1 -> alpha=1/2$

Dal secondo limite risulta $-beta=1 ->beta=-1$

Il terzo limite risulta $+infty$

Andando a sostituire $alpha$ e $beta$ nel limite di partenza e facendo i conti ottengo

$\lim_{x \to \+infty} 2 + \lim_{x \to \+infty} 1/2e^x$

Il che mi da $2$ come risultato e non $1$

Dove ho sbagliato?

[Shocker1]

Ciao

"nic1988":
Devo verificare che

$\lim_{x \to \+infty} e^-x[(2alpha-beta)e^x + (-alpha+beta)e^(2x)]=1$

In pratica devo trovare $alpha$ e $beta$ ma devo aver sbagliato qualcosa perché a me viene fuori $2$

$\lim_{x \to \+infty} [2alpha - beta + (-alpha+beta)e^x]$ (ho moltiplicato le $e$)

Il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti

$\lim_{x \to \+infty} 2alpha - \lim_{x \to \+infty} beta + \lim_{x \to \+infty} (-alpha+beta)e^x=1$

Fin qui mi trovo d'accordo.

"nic1988":
Dal primo limite risulta $2alpha=1 -> alpha=1/2$

Dal secondo limite risulta $-beta=1 ->beta=-1$

Perché?
$lim_{x->+oo} 2*\alpha = 2*\alpha$
$lim_{x->+oo} -\beta = -\beta$

Tu devi trovare due numeri, $\alpha$ e $\beta$, tali che:

$\lim_{x \to \+infty} 2alpha - \lim_{x \to \+infty} beta + \lim_{x \to \+infty} (-alpha+beta)e^x= 2*\alpha - \beta + \lim_{x \to \+infty} (-alpha+beta)e^x=1$

Ora, quando il seguente limite:
$\lim_{x \to \+infty} (-alpha+beta)e^x$

risulta finito?

Ciao

[nic1988]

E' proprio questo quello che non riesco a capire. Cioè se

$lim_(x->+infty) (-alpha+beta)e^x = (-alpha+beta) infty$

E come faccio a determinare $alpha$ e $beta$

[Frink1]

Non potendo essere finito, ci sarà un unico modo perche il limite nella sua totalità sia finito, ossia che quel termine si annulli.
Allora è chiaro che:
(lo metto sotto spoiler, cerca di capirlo da quello che ho scritto e poi controlla oppure posta la tua soluzione prima ancora di controllare )

$ { (2alpha -beta =1),( -alpha+beta=0 ):} $

[nic1988]

Grazie! Non avevo proprio considerato di dover fare un sistema per trovarmi $alpha$ e $beta$ ! Grazie a questa risposta ho risolto tanti esercizi simili!