Verifica di un limite

[Tatasala]

Salve, ho appena iniziato lo studio dei limi e mi sono imbattuto in questo esercizio che mi chiede di verificare il seguente limite: $\lim_{x \to \infty}(x^2+4)/(5x)=\infty$ . Sul libro sono omessi i passaggi che portano a scrivere la funzione dalla forma iniziale a quella finale che segue: $(5M-sqrt{25M^2-16})/2$ . Ho provato a fare diversi passaggi ma non so come levare la x al denominatore ed arrivare alla forma finale che riporta il libro. Vi ringrazio per l'aiuto.

[Hadronen]

Non so in quale modo arrivi a quella forma.

E' un semplice limite che si risolve classicamente:

$lim_(x\tooo) (x^2+4)/(5x) = lim_(x\tooo) (x^2(1+4/x^2))/(5x) = lim_(x\tooo) (x(1+4/x^2))/5 = oo$

[Tatasala]

Ti ringrazio Hadronen, in qualche modo ero arrivato anche io alla soluzione scritta da te, ma non riesco a capire come fare per completare ed arrivare alla soluzione del libro..

[login2]

forse l'esercizio chiede di verificare il limite con la definizione... potrebbe essere? Perchè si potrebbe spiegare quell'M della soluzione

[PZf]

Prima di tutto una correzione: credo che invece di $(5M-\sqrt{25M^2-16})/2$ avresti dovuto trovare $(5M+\sqrt{25M^2-16})/2$.

Il libro vuole verificare che $\lim_{x->oo}(x^2+4)/(5x)=oo$ partendo direttamente dalla definizione: $\lim_{x->oo}f(x)=oo$ significa che fissato un qualunque numero $M>0$ (grande a piacere) è possibile trovare un valore $\bar{x}$ tale che scelto un qualunque $x>\bar{x}$ risulti $f(x)>M$.

Nel caso specifico scelto a piacere un $M>1$ (non metto $M>0$ per problemi con la radice quadrata che compare dopo, però è chiaro che non cambia nulla) è vero che $(x^2+4)/(5x)>M$ quando $x>(5M+\sqrt{25M^2-16})/2$ (anche per altri valori di $x$ in realtà, ma nel caso specifico quanto ho scritto è sufficiente per verificare il limite).

Scegliendo $\bar{x}=(5M+\sqrt{25M^2-16})/2$ il limite risulta verificato.

[Tatasala]

Esatto, comunque riprovando credo di essere arrivato alla soluzione:
$(x^2+4)/(5x)>M$ quindi risolvendo si ha:

$(x*(x+4/x))/(5x)>M$ da cui:

$x+4/x>5M$

$x^2-5Mx+4>0$ calcolo il $\delta$:

$\delta = 25M^2x^2 - 16$ ed ottengo i valori della $x$

$x>(5M+sqrt(25M^2 - 16))/2$

quindi il limite risulta verificato.

Grazie login e pzf!!!