Verifica di limiti con la definizione metrica

[notaro1]

buona sera a tutti!
Devo verificare il seguente limite

$lim_(x->+infty) x^4/(1-x^2) = -infty$

ma non sono del tutto convinto dei miei passaggi.
Li scrivo qui sperando che qualcuno possa darmi un parere.

Il limite è valido sse:
$AA K>0 EE bar(x) >0 t.c. AA x in dom(f), x>bar(x) rArr x^4/(1-x^2) < -K$

Parto quindi dall'ultima disuguaglianza:
$(x^4 - kx^2 + k)/(1-x^2)<0$

Dal numeratore ottengo:
$(k - sqrt(k^2-4k))/2
quindi basta scegliere:
$bar(x) = sqrt((k - sqrt(k^2-4k))/2)$

Non mi convince molto l'aver scelto quello che mi conveniva tralasciando il resto (cioè il denominatore al primo passaggio e la radice negativa nell'ultimo).
Grazie (a chi è arrivato in fondo) anche solo per aver letto sto romanzo in matematichese

[Seneca1]

Direi che esiste un modo per semplificarsi la vita.

$- x^4/(x^2 - 1)$ scrivilo come $- ( x^4 - 1 )/(x^2 - 1) - 1/(x^2 - 1) = - ((x^2 - 1)( x^2 + 1 ))/(x^2 - 1) - 1/(x^2 - 1) = - (x^2 + 1 ) - 1/(x^2 - 1)$

Ora ti chiedi se, fissato $K > 0$, esiste un intorno di $+oo$ tale che $- (x^2 + 1 ) - 1/(x^2 - 1) < - K$ cioè $x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > K$

$x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > K$

Per $x$ sufficientemente grandi (restrizione lecita), si ha $x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > x^2$ .

$x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > x^2 > K$

Allora, se trovo un intorno $U$ di $+oo$ in cui $x^2 > K$, avrò - a maggior ragione - che $AA x in U$ (*) $x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > K$ e quindi che $x^4/(1 - x^2) < - K$.

(*) : Se vogliamo essere proprio precisi, dovresti prendere l'intersezione tra $U$ e l'intorno in cui si può attuare la minorazione $x^2 + 1 + 1/(x^2 - 1) > x^2$ .