Verifica di limiti

[profumo_colorato]

Salve.
Non riesco a comprendere alcuni passaggi di questo esercizio già svolto:

Utilizzando la definizione di limite, verificare che
$lim _{x\to \3}1/(2x-1)=1/5$

Viene svolto il questo modo:
Abbiamo $|1/(2x-1)-1/5|=2/5|(3-x)/(2x-1)|$. Limitatamente ai numeri reali x per cui $2 Perché considera $2

Abbiamo quindi $|1/(2x-1)-1/5|<2/15 |x-3|$, se $2 Anche questo passaggio mi è poco chiaro. O meglio, ho capito come si arriva alla disequazione, ma non capisco perché questo vale se $2

Perciò, ponendo $delta=min{1;(15/2)epsilon}$ se $|x-3| Perché fa questo?

Inoltre, c'è un modo alternativo per svolgere questo esercizio?
E se, arrivata alla disequazione, applicassi la definizione a $2/15|x-3|$? Quindi vado a risolvere $2/15|x-3| Vi ringrazio in anticipo per qualsiasi chiarimento!

[Paolo902]

Fammi un po' indovinare, Marcellini - Sbordone, vero?

Bisogna farci un po' l'occhio e la mano alle verifiche dei limiti, c'è poco da fare.

All'inizio possono sembrare ostiche, poi uno capisce come gira e tutto sembra più semplice.
In pratica, lui dice: visto che $x$ tende a $3$, ovvio che $2 Adesso conviene sfruttare la maggiorazione fatta: $2/5|(3-x)/(2x-1)|<2/5*1/3|(3-x)|$. Hai capito? Poi cambia il segno dentro il modulo, che è un'operazione lecitissima. E quindi ottiene $2/15|x-3|
E' un po' più chiaro?
Ovviamente ci sono anche altri modi, forse un po' più lunghi, ma al massimo li vediamo dopo, ora comincia ad avere questo ben chiaro. Fammi sapere se è tutto chiaro, per piacere o se ci sono altri dubbi.

P.S. Scusate per il linguaggio forse poco rigoroso, ho cercato di essere più semplice e chiaro possibile...

[profumo_colorato]

Sì, proprio Marcellini-Sbordone!
E' tutto molto più chiaro. Grazie.
Però ancora non riesco a capire perché devo considerare $delta =min (1, 15/2 epsilon)$.
L'1 lo considero perché aggiungo la "condizione" che $|x-3|<1$, giusto?
Mentre l'altra mi è chiara.
Quindi poi l'esercizio termina così? Non devo trovare alcun intervallo?

[Camillo]

L'intervallo è ormai definito : hai $x_0 =3 $ , $ delta = min (1,(15/2)epsilon )$ e quindi....

[profumo_colorato]

"Camillo":L'intervallo è ormai definito : hai $x_0 =3 $ , $ delta = min (1,(15/2)epsilon )$ e quindi....

Mmm... Scusa, ma non mi è chiaro...

[Camillo]

Significa che per ogni valore di $ x =x_0 +- delta $ la funzione $1/(2x-1) $ differisce in modulo da $1/5 $ per una quantità $ < epsilon $, cioè a dire che $|1/(2x-1)-1/5 | < epsilon $.
Dunque fissato $ epsilon$ (quasi ) a piacere hai trovato un intorno di $x_0 = 3 $ tale che in ogni suo punto $x $ valga
$ |1/(2x-1)-1/5 | < epsilon $.
Quindi hai verificato che il limite vale $1/5 $.

[profumo_colorato]

"Camillo":Significa che per ogni valore di $ x =x_0 +- delta $ la funzione $1/(2x-1) $ differisce in modulo da $1/5 $ per una quantità $ < epsilon $, cioè a dire che $|1/(2x-1)-1/5 | < epsilon $.
Dunque fissato $ epsilon$ (quasi ) a piacere hai trovato un intorno di $x_0 = 3 $ tale che in ogni suo punto $x $ valga
$ |1/(2x-1)-1/5 | < epsilon $.
Quindi hai verificato che il limite vale $1/5 $.

Chiaro!

Grazie!

[IgnoranteDaSchifo]

Ragazzi ma per verificare questo limite sarebbe bastato fare questo?


${(1/(2x-1)-<1/5 + \epsilon ),(1/(2x-1)>-1/5 - \epsilon):}$ la cui soluzione per $ \epsilon -<1/5 $ è $(3+5/2 \epsilon)/(5 \epsilon +1)-

Cita

Segnala

[Sk_Anonymous]

Stavano semplicemente cercando di risolverlo senza utilizzare il metodo "forza bruta".

[IgnoranteDaSchifo]

"speculor":Stavano semplicemente cercando di risolverlo senza utilizzare il metodo "forza bruta".

Lo so che stavano facendo....volevo solo una conferma sul "metodo più classico".Bè anche se in maniera scostante, mi hai dato conferma.[/chessgame]