Verifica di limite per definizione
Salve, ho proprio bisogno di una rassicurazione su questo esercizio facilissimo di verifica, con definzione, di limite; il fatto che non venga assegnata una funzione mi destabilizza un attimo e quindi per insicurezza scrivo qui.
Il quesito chiede di verificare:
$ lim_(x -> 2) f(x)= -5 $
Come al solito si imposta la disequazione:
$ |f(x)-l|= epsilon $
Che nel mio caso risulta essere, svolgendo i "conticini":
$ -epsilon - 5 < f(x) < epsilon - 5 $
Ora però non so precisamente che conclusioni trarre precisamente al termine della verifica; sempre che sia realmente terminata qui; come già detto il problema è la presenza della generica f(x).
Grazie
Il quesito chiede di verificare:
$ lim_(x -> 2) f(x)= -5 $
Come al solito si imposta la disequazione:
$ |f(x)-l|= epsilon $
Che nel mio caso risulta essere, svolgendo i "conticini":
$ -epsilon - 5 < f(x) < epsilon - 5 $
Ora però non so precisamente che conclusioni trarre precisamente al termine della verifica; sempre che sia realmente terminata qui; come già detto il problema è la presenza della generica f(x).
Grazie
Risposte
A mio parere, l'esercizio, messo giù in questo modo, non ha senso: se per esempio fosse \( f(x) = x - 7 \), allora quel limite sarebbe vero, ma se per esempio fosse \( f(x) = x + 7 \), allora quel limite non sarebbe vero.
Il quesito chiede che venga verificata l'esistenza di questo limite con la definizione, esplicitandone gli intorni; ho anche io fatto la tua considerazione e per questo mi sono bloccato.
Letteralmente il quesito chiede:
"Dare la definizione topologica di funzione nel caso soprariportato scrivendo esplicitamente gli intorni". Forse sbaglio nell'intendere il quesito allora.
"Dare la definizione topologica di funzione nel caso soprariportato scrivendo esplicitamente gli intorni". Forse sbaglio nell'intendere il quesito allora.
Posto che non ho mai sentito parlare di "definizione topologica di funzione", indi per cui, a meno che io non versi in condizioni di estrema ignoranza, li ci manca un "limite di" tale da rendere la richiesta "Dare la definizione topologica di limite di funzione...", la consegna dell'esercizio non è verificare che il limite di \( f(x) \) per \( x \to 2 \) è \( -5 \) ma è assumere che quel limite sia vero per una non meglio precisata \( f(x) \) e scrivere cosa questo significhi in base alla definizione topologica di limite.
Si scusami, chiaramente ho tralasciato "limite di", quindi il quesito dal punto di vista risolutivo come si esegue?
Qual è la definizione topologica di limite di funzione?
Quindi usando la definizione:
Gli intorni $ eta $ di l e $ upsilon $ di x con 0 possono essere scritti nella forma:
(-5 - $ epsilon $, -5 + $ epsilon $) e (2 - $ delta $, 2 + $ delta $) con $ epsilon $, $ delta $ > 0.
Gli intorni $ eta $ di l e $ upsilon $ di x con 0 possono essere scritti nella forma:
(-5 - $ epsilon $, -5 + $ epsilon $) e (2 - $ delta $, 2 + $ delta $) con $ epsilon $, $ delta $ > 0.
Scritta così, non si capisce alcunché.
Gli intorni η di l e υ di x con 0 possono essere scritti nella forma:
(-5 - ε, -5 + ε) e (2 - δ, 2 + δ) con ε, δ > 0.
Quindi :
per ogni ε > 0 $ EE $ δ > 0 tale che x $ in $ X (dominio), 0 <|x - 2| < δ $ rArr $ |f(x) - (-5)|< ε
Dovrebbe essere questa la soluzione?
(-5 - ε, -5 + ε) e (2 - δ, 2 + δ) con ε, δ > 0.
Quindi :
per ogni ε > 0 $ EE $ δ > 0 tale che x $ in $ X (dominio), 0 <|x - 2| < δ $ rArr $ |f(x) - (-5)|< ε
Dovrebbe essere questa la soluzione?
Qualcuno che dia la conferma?
Direi di no perché stai usando quella che volgarmente viene detta la "definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\)" del concetto di limite: assumendo come definizione di limite quella topologica, la definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\) diviene una caratterizzazione alternativa del concetto di limite. Il testo dal quale stai studiando riporta solo questa definizione del concetto di limite? Dovrebbe (per coerenza con l'esercizio proposto) riportarne (anche) un'altra in cui anziché usare \( \varepsilon \) e \( \delta \) si utilizzano gli intorni di \( \ell \) (il valore del limite) e di \( x_{0} \) (il punto di accumulazione).
Dato che i miei tentatativi sono stati vani, potrebbe darmi la soluzione del quesito proposto?
La definizione topologica di limite è la seguente.
Siano:
• \( D \subseteq \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \);
• \( c \in \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \) un punto di accumulazione per \( D \);
• \( \ell \in \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \).
Data la funzione \( f \colon D \to \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \), si dice che \( \ell \) è il limite di \( f \) per \( x \) che tende a \( c \) se e solo se per ogni intorno \( V \) di \( \ell \), esiste un intorno \( U \) di \( c \) tale che \( \displaystyle f \left ( U \cap D \setminus \{ c \} \right ) \subseteq V \).
Quindi: se è \( \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = -5 \), allora questo significa che per ogni intorno \( V \) di \( -5 \), esiste un intorno \( U \) di \( 2 \) tale che \( \displaystyle f \left ( U \cap D \setminus \{ 2 \} \right ) \subseteq V \).
Ora: chi sono gli intorni \( V \) (di \( -5 \)) ed \( U \) (di \( 2 \)) che nella traccia dell'esercizio si chiede di indicare esplicitamente? Diciamo che ci si può limitare agli intervalli aperti di centro i punti \( -5 \) e \( 2 \), sicché possiamo dire che \( V = ] -5 -\varepsilon, -5 + \varepsilon [ \) e \( U = ] 2 - \delta, 2 + \delta [ \). Su alcuni manuali tale semplificazione si adotta addirittura come definizione di intorno e credo che altrettanto faccia il tuo manuale, tuttavia la definizione di intorno è un po' più generale.
P.S.
In generale sui forum è prassi darsi del "tu". Di sicuro non serve dare del Lei a me!
Siano:
• \( D \subseteq \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \);
• \( c \in \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \) un punto di accumulazione per \( D \);
• \( \ell \in \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \).
Data la funzione \( f \colon D \to \overset{\thicksim}{\mathbb{R}} \), si dice che \( \ell \) è il limite di \( f \) per \( x \) che tende a \( c \) se e solo se per ogni intorno \( V \) di \( \ell \), esiste un intorno \( U \) di \( c \) tale che \( \displaystyle f \left ( U \cap D \setminus \{ c \} \right ) \subseteq V \).
Quindi: se è \( \displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) = -5 \), allora questo significa che per ogni intorno \( V \) di \( -5 \), esiste un intorno \( U \) di \( 2 \) tale che \( \displaystyle f \left ( U \cap D \setminus \{ 2 \} \right ) \subseteq V \).
Ora: chi sono gli intorni \( V \) (di \( -5 \)) ed \( U \) (di \( 2 \)) che nella traccia dell'esercizio si chiede di indicare esplicitamente? Diciamo che ci si può limitare agli intervalli aperti di centro i punti \( -5 \) e \( 2 \), sicché possiamo dire che \( V = ] -5 -\varepsilon, -5 + \varepsilon [ \) e \( U = ] 2 - \delta, 2 + \delta [ \). Su alcuni manuali tale semplificazione si adotta addirittura come definizione di intorno e credo che altrettanto faccia il tuo manuale, tuttavia la definizione di intorno è un po' più generale.
P.S.
In generale sui forum è prassi darsi del "tu". Di sicuro non serve dare del Lei a me!
Grazie mille per la chiara definizione, scusami ma non sono un assiduo frequentantatore di forum. Grazie ancora
Prego.
E non devi scusarti: non era mica un rimprovero a proposito del "tu".
E non devi scusarti: non era mica un rimprovero a proposito del "tu".
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