Verifica di limite (passaggio algebrico)

[_Daniele_]

Ciao ragazzi, mi sono bloccato su un passaggio algebrico riguardante la verifica di un limite:

$ lim_(x -> 1) (2x^2+3)=5 $ .

Fissato un \( \varepsilon >0 \) studio la condizione \( |f(x)-\ell |<\varepsilon \) .
Facendo tutti i calcoli arrivo ad avere \( 2|x-1||x+1|<\varepsilon \) .
Ok, ora non so come semplificare questa disequazione per rendermi la vita più semplice . Qualche suggerimento?

[anonymous_c5d2a1]

"JustDani95":Ciao ragazzi, mi sono bloccato su un passaggio algebrico riguardante la verifica di un limite:

$ lim_(x -> 1) (2x^2+3)=5 $ .

Fissato un \( \varepsilon >0 \) studio la condizione \( |f(x)-\ell |<\varepsilon \) .
Facendo tutti i calcoli arrivo ad avere \( 2|x-1||x+1|<\varepsilon \) .
Ok, ora non so come semplificare questa disequazione per rendermi la vita più semplice . Qualche suggerimento?

Dovresti risolvere la catena di disequazioni $-epsilon<2(x-1)(x+1)

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[_Daniele_]

"anonymous_c5d2a1":[quote="JustDani95"]Ciao ragazzi, mi sono bloccato su un passaggio algebrico riguardante la verifica di un limite:

$ lim_(x -> 1) (2x^2+3)=5 $ .

Fissato un \( \varepsilon >0 \) studio la condizione \( |f(x)-\ell |<\varepsilon \) .
Facendo tutti i calcoli arrivo ad avere \( 2|x-1||x+1|<\varepsilon \) .
Ok, ora non so come semplificare questa disequazione per rendermi la vita più semplice . Qualche suggerimento?

Dovresti risolvere la catena di disequazioni $-epsilon<2|x-1||x+1|
Mi vergogno quasi a dirlo, ma non riesco a risolverla: il prodotto dei moduli mi ha mandato in confusione.

Edit: sarebbe più conveniente scrivere \( 2-\varepsilon <2x^2<\varepsilon +2 \) . Comunque arrivo sempre ad un punto morto perché non riesco ad andare avanti.

[anonymous_c5d2a1]

No $-epsilon/2<(x-1)(x+1)

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[@melia]

"JustDani95": sarebbe più conveniente scrivere \( 2-\varepsilon <2x^2<\varepsilon +2 \) . Comunque arrivo sempre ad un punto morto perché non riesco ad andare avanti.

È la stessa cosa, in ogni caso devi dividere in due disequazioni e metterle a sistema
$\{(x^2<1+epsilon/2 ),(x^2>1-epsilon/2 ):}$

$\{(-sqrt(1+epsilon/2)sqrt(1-epsilon/2) ):}$

che ha soluzione $-sqrt(1+epsilon/2)

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