Verifica di limite esponenziale

[teto85]

Salve ragazzi,
vi posto due esercizi proposti ad un esame di analisi che purtroppo non riesco a verificare con la definizione:

$\lim_{n \to- \infty}$$(1/2)^(1/x)$$=1$

svolgendolo mi viene un intorno di $+\infty$

applico la definizione:
$\forall \varepsilon >0 \exists K>0 : \forall x\inD(f(x)) , x<-K \rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon$

svolgimento:
$|(1/2)^(1/x)-1|<\varepsilon$

$\{((1/2)^(1/x)<\varepsilon+1),((1/2)^(1/x)>1-\varepsilon):}$

passo da esponenziale a logaritmo:

$\{(1/x>log(\varepsilon+1)),(1/x
ho cambiato verso perchè i logaritmi sono base $1/2$ :

qua viene:
$\{((xlog(1+\varepsilon)-1)/x<0),((xlog(1-\varepsilon)-1)/x>0):}$

facendo il prodotto dei segni, nella prima disequazione viene:
$1/(log(1+\varepsilon)) nella seconda viene :
$x<0$ $^^$ $ x>1/(log(1-\varepsilon))$

tutti i log sono base 1/2

ma non è un intorno di -$\infty$
cosa sto sbagliando?

il secondo esercizio lo posterò più tardi, intanto se riuscite ad illuminarmi su questo
grazie

[laura1232]

Sbagli nella prima disequazione del sistema infatti:
${x log_{1/2}(varepsilon+1)-1}/x<0$
$N>0 rArr x log_{1/2}(varepsilon+1)-1>0 rArr x< 1/{log_{1/2}(varepsilon+1)} $ perché $log_{1/2}(varepsilon+1)<0$
$D>0 rArr x>0$
quindi, dallo studio del segno, segue $x< 1/{log_{1/2}(varepsilon+1)} vv x>0$