Verifica di limite di funzione utilizzando la definizione

[xavio310]

Salve. Vorrei chiedervi aiuto nel capire lo svolgimento del seguente esercizio:

Utilizzando la definizione di limite di funzione (espressa mediante disuguaglianze: verificare che:
$$\lim_{x \to 2} \frac{3x+1}{x-1}=7$$
Occorre stimare la quantità:
$$\left| \frac{3x+1}{x-1}-7\right|=4\left|\frac{x-2}{x-1}\right|$$
Invece di risolvere la disequazione
$$4\left|\frac{x-2}{x-1}\right|< \epsilon$$
si può osservare che, per ogni c appartenente all'intorno di $x_0=2$ di ampiezza $1/2$, risulta $x>2-(1/2)$; perciò
$$4\left|\frac{x-2}{x-1}\right|<\frac{4}{1/2}\left|x-2\right|=8|x-2|$$
per ogni $x \in R$ tale che $|x-2|<1/2$. Fissato $\epsilon > 0$ $$\delta=min[1/2,\epsilon/8]$$

Perché, per procedere con la verifica si sceglie come ampiezza proprio $1/2$? E perché il $\delta$ risulta uguale a $\delta=min[1/2,\epsilon/8]$?

[pilloeffe]

Ciao xavio310,

Benvenuto sul forum!

Si è alla ricerca di un $\delta = \delta(\epsilon) > 0 $ tale che $\AA x : |x - 2| < \delta $ si abbia

$|frac{x-2}{x-1}|< \epsilon/4 $

Infatti, per $ |x - 2| < \delta $ si può scrivere:
$- \delta < x - 2 < +\delta \implies 1 - \delta < x - 1 < 1 +\delta $

Quindi se si assume $0 < \delta < 1 $ (nel caso che hai proposto si è assunto per comodità $\delta = 1/2 $) allora $1 - \delta > 0 $ e si ha:

$ 0 < 1 - \delta < x - 1 < 1 +\delta $

Prendendo i reciproci si ha:

$frac{1}{1 + \delta} < frac{1}{x - 1} < frac{1}{1 - \delta} \implies frac{1}{1 + \delta} < frac{1}{|x - 1|} < frac{1}{1 - \delta} $

Dunque, ricordando che $|x - 2| < \delta $, si ha:

$ frac{|x - 2|}{|x - 1|} < frac{\delta}{1 - \delta} $

Perciò se si prende $\delta$ in modo che $frac{\delta}{1 - \delta} \le \epsilon/4 $ con $0 < \delta < 1 $ è fatta.
Si ha:

$frac{\delta}{1 - \delta} \le \epsilon/4 \implies 4\delta \le \epsilon(1 - \delta) \implies \delta(4 + \epsilon) \le \epsilon \implies \delta = \delta(\epsilon) \le frac{\epsilon}{4 + \epsilon}$

In definitiva, basta prendere $\delta = \delta(\epsilon) = min\{1/2, frac{\epsilon}{4 + \epsilon}\} $ che il limite iniziale proposto è verificato.

[xavio310]

Grazie pilloeffe. Vorrei chiederti qualche chiarimento sulla tua risposta:

Quindi se si assume $ 0 < \delta < 1 $ (nel caso che hai proposto si è assunto per comodità $ \delta = 1/2 $) allora $ 1 - \delta > 0 $ e si ha:

$ 0 < 1 - \delta < x - 1 < 1 +\delta $

assumo $ 0 < \delta < 1 $ perché altrimenti non potrei considerare il valore assoluto esatto? Quindi per comodità potrei prendere anche $ \delta = 1/6 $?

In definitiva, basta prendere $ \delta = \delta(\epsilon) = min\{1/2, frac{\epsilon}{4 + \epsilon}\} $ che il limite iniziale proposto è verificato.

La verifica dovrebbe dare come risultato $ \delta = \delta(\epsilon) = min\{1/2, frac{\epsilon}{8}\} $ !?

[pilloeffe]

"xavio310":perché altrimenti non potrei considerare il valore assoluto esatto?

No, il valore assoluto si può considerare: il vantaggio di avere a che fare con numeri positivi è che il valore assoluto di un numero positivo è il numero stesso...

"xavio310":Quindi per comodità potrei prendere anche $\delta =1/6 $?

Certamente, si può prendere qualsiasi valore di $\delta $ compreso fra $0$ e $1$.

"xavio310":La verifica dovrebbe dare come risultato...

$\delta =\delta(\epsilon) $ non ha necessariamente un'unica espressione: se ne vuoi trovare un'altra, potresti provare a determinare il valore di $k$ tale che si abbia

$ k|x - 2| < |frac{x - 2}{x - 1}| < \epsilon/4 $

sicché poi si prenderà $\delta = min\{1/2, frac{\epsilon}{4k} \} $ in modo da aversi $|x - 2| < \delta $ come volevasi.