Verifica di limite
Questo è il primo esercizio sui limiti di funzione che faccio ma sul libro non è spiegato. Si tratta di una verifica con la definizione di limite, cosa che fino ad ora mi era riuscita per i limiti di successione.
$\lim_{x \to \3}(1)/(2x-1)=1/5$
si applica la definizione e viene $2/5 |(3-x)/(2x-1)| < \epsilon$
Il libro dice così
"limitatamente ai numeri reali x per cui $2 < x < 4$ risulta $3 < 2x - 1 < 7$. Abbiamo quindi $|1/(2x-1)-1/5| < 2/15 |x-3|$, se $2
ma per fare la verifica non si dovrebbe fare un sistema?
$\lim_{x \to \3}(1)/(2x-1)=1/5$
si applica la definizione e viene $2/5 |(3-x)/(2x-1)| < \epsilon$
Il libro dice così
"limitatamente ai numeri reali x per cui $2 < x < 4$ risulta $3 < 2x - 1 < 7$. Abbiamo quindi $|1/(2x-1)-1/5| < 2/15 |x-3|$, se $2
ma per fare la verifica non si dovrebbe fare un sistema?
Risposte
Di solito sì, anche questo esercizio si può tranquillamente risolvere con il solito sistema (lo puoi verificare). L'autore ha voluto scegliere una via alternativa, probabilmente ha messo in evidenza questa via alternativa in un esercizio semplice per facilitarne la comprensione. Di solito vie alternative come questa sono necessarie quando le disequazioni parametriche sono di grado superiore al secondo o miste tra polinomi e altre funzioni come seni, logaritmi, eponenziali..., cioè nei casi in cui è impossibile risolvere la disequazione parametrica per via diretta.
Grazie per la risposta.
Ma di preciso cos'è che fa con questo metodo alternativo? Considera le x comprese fra 2 e 4, cioè "vicine" a tre, poi sostituisce il denominatore $2x-1$ con un 3 e inverte il numeratore (perché sa che è positivo?). Poi per calcolare il $\delta$ risolve la disequazione?
Ma di preciso cos'è che fa con questo metodo alternativo? Considera le x comprese fra 2 e 4, cioè "vicine" a tre, poi sostituisce il denominatore $2x-1$ con un 3 e inverte il numeratore (perché sa che è positivo?). Poi per calcolare il $\delta$ risolve la disequazione?
Con la classica verifica di limite oltre a verificare il limite ottieni anche altri risultati come altri eventuali intorni in cui il limite della funzione assume lo stesso valore. Con questo procedimento, invece, verifichi il problema solo in un intorno della soluzione. Nel caso specifico l'intorno considerato è $]2,4-[$.
Le tue deduzioni sono corrette.
Come vedi il metodo è alquanto artificioso e, nel caso in questione, inutile perché complica il procedimento. Comunque avere una visione di questi artifici può essere utile, anche se di solito si preferisce utilizzare qualche teorema per evitarli.
Le tue deduzioni sono corrette.
Come vedi il metodo è alquanto artificioso e, nel caso in questione, inutile perché complica il procedimento. Comunque avere una visione di questi artifici può essere utile, anche se di solito si preferisce utilizzare qualche teorema per evitarli.
Grazie ancora per avermi tolto questo dubbio. L'unica cosa che non ho capito è perché sostituisce 3 al denominatore se quest'ultimo è appunto maggiore di 3 per la $3<2x-1<7$.
Ciao
Ciao
Non vedo la sostituzione che dici. Forse sì:
Sapendo che $3 < 2x - 1 < 7$, si ha $1/3>1/(2x-1)>1/7$, quindi $1/7<1/(2x-1)<1/3$
Sapendo che $3 < 2x - 1 < 7$, si ha $1/3>1/(2x-1)>1/7$, quindi $1/7<1/(2x-1)<1/3$
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