Verifica di limite

[lucame89]

La traccia dice: "verifica il seguente limite"



$\lim_{n \to \-infty} ((x^2-4)/x)= -infty$

Vediamo se ho ben capito come si deve risolvere.
Allora dovrei verificare che la disequazione

$ ((x^2-4)/x) < - M

abbia fra le sue soluzioni un intorno di -∞.
Mi calcolo x:

$x= ((-m+- sqrt(m^2+16))/2)

e ora cosa dovrei fare??
spero in un vostro aiuto!grazie anticipatamente a tutti.

[Camillo]

Va precisato che $M> 0 $ .
Ottieni la disequazione $(x^2+Mx-4)/x < 0 $ .
Poichè $ x rarr -oo $ puoi assumere che sia $x < 0 $ ; quindi la disequazione da risolvere è :
$ x^2+Mx -4 > 0 $ .
Le soluzioni sono $x < (-M-sqrt(M^2+16))/2 $ ; $x > (-M+sqrt(M^2+16))/2 $.
Consideriamo solo la prima soluzione ( x < 0 ) ed è proprio un intorno di $ -oo $ . ok ?

[lucame89]

ciao camillo grazie mille per avermi risposto!
E' tutto molto chiaro tranne una cosa..non capisco perchè studiamo $x^2+Mx-4>0$ e non $x^2+Mx-4<0$

[Camillo]

La disequazione da risolvere è quella che hai scritto tu : $ (x^2-4)/x < -M $ che diventa $ (x^2-4)/x+M < 0 $ e quindi si ha :
$(x^2+Mx -4) /x < 0 $ .
Essendo $ x< 0 $ per soddisfare la disequazione bisogna sia il numeratore $ > 0 $ e quindi $ x^2 +Mx -4 > 0 $ è la disequazione da risolvere.

[lucame89]

grazie mille camillo sei stato molto chiaro, ho fatto degli esercizi e si trovano quasi tutti tranne uno(EX.1)..poi su altri 2(EX.2,EX.3) non sono sicuro di aver operato bene!!se hai tempo puoi dargli un'occhiata??
Ex.1

$\lim_{n \to \-infty} ((2x)/(2x+1)) = 1$

$- \epsilon < (((2x)/(2x+1)) -1) <\epsilon$

I disequazione

$- \epsilon < (((2x)/(2x+1)) -1)$

$\epsilon>1/(2x+1)$ --> $\epsilon(2x+1)>1$ --> $2x+1>(1/\epsilon)$ --> $x> (1-\epsilon)/(2\epsilon)$

II disequazione

$(((2x)/(2x+1)) -1) <\epsilon$

$(\epsilon(2x+1))>-1$ --> $(2x+1)>-(1/\epsilon)$ --> $x> -(1-\epsilon)/(2\epsilon)$

EX.2
$\lim_{n \to \-2^+}ln(x+2) = -infty$

$ln(x+2)<-M$ --> $e^ln(x+2) $x+2 < e^(-M)$ --> $x
EX.3

$\lim_{n \to \-2}(X^4-1)=15$

($-\epsilon) < (x^4-16) < (+\epsilon)

I Disequazione

$-\epsilon < x^4-16$ --> $x<- (root(4)(16-\epsilon))$ V $x> (root(4)(16-\epsilon))$

II Disequazione

$X^4 - 16 < \epsilon$ --> $x<- (root(4)(16+\epsilon))$ V $x> (root(4)(16+\epsilon))$
quanto riportato dai risultati dovrebbe essere compreso un intorno di -2...quindi penso vada bene no?

[Camillo]

Ex 1 - I disequazione , non ho guardato tutto ma quando passi da $ epsilon > 1/(2x+1) $ a $ epsilon( 2x+1) > 1 $ questo è senz'altro sbagliato perchè $x rarr -oo $ quindi $ 2x+1 $ è negativo e allora moltiplicando ambo i membri di una disequazione per un numero negativo devi cambiare il VERSO della disequazione .
Ex 1 - II non si capisce bene quanto scritto, sistema la scrittura delle formule .
Adesso si vede meglio, mi sembra ci sia lo stesso tipo di errore.

[Camillo]

Ex 2 - L'ultimo passaggio non è corretto , è invece $ x < -2+e^(-M) $ che è proprio un intorno destro di $ -2 $ .

[lucame89]

EX.2 ho sbagliato a scrivere la formula sul quaderno avevo fatto bene
EX.1 adesso lo rifaccio cosi vedo se ho capito bene dov'è che sbagliavo
grazie mille per la disponibilità!