Verifica della differenziabilità

[ErGrandeMago]

Buonasera,

Ho questa funzione $f(x,y) {((x^3+x^2y(y-1)+xy^2 -y^3)/(x^2+y^2),if (x,y)!=0),((0,0),if (x,y)=0):}$

L’obiettivo é verificare che sia differenziabile nell’origine.

Ho giá trovato che è sia continua che derivabile nell’origine, e il gradiente in $(0,0)$ vale $0$.

Applicando la definizione di differenziabilitá con le coordinate polari mi blocco al seguente punto:

$lim_(\rho->0) (\rho^3cos^3\theta + \rho^4cos^2\thetasen^2\theta - \rho^3sen^3\theta)/(\rho^3)$

Ho pensato di raccogliere al numeratore $\rho^3$ per semplificarlo con quello al denominatore ottenendo:

$lim_(\rho->0) cos^3\theta + \rhocos^2\thetasen^2\theta - sen^3\theta$

Ora mi ritrovo in questa situazione e non so proprio come procedere....

Ringrazio in anticipo tutti coloro che potranno aiutarmi.

[gugo82]

Beh, ti pare che il limite esista?

[ErGrandeMago]

La soluzione prevede che la funzione sia differenziabile nell’origine... quindi quel limite dovrebbe dare zero...

Forse sbaglio in qualche passaggio precedente ma anche rifacendo i calcoli sbatto sempre qui

[gugo82]

I calcoli mi sembrano giusti, quindi non vedo il problema.

Da dov’è preso l’esercizio?

[totissimus]

$x^{2}+y^{2}=\rho^{2}$

[gugo82]

Diviso $rho$, quando si verifica la differenziabilità...