Verifica della convergenza di successione di funzioni
Come si risolove l'esercizio:
Verificare la convergenza della seguente successione di funzioni:
fn(x)= x-(x^n/n) con x [-1,1] n appartiene ad N
Verificare la convergenza della seguente successione di funzioni:
fn(x)= x-(x^n/n) con x [-1,1] n appartiene ad N
Risposte
Per provare la convergenza puntuale devi passare al limite su $n$ ritenendo $x$ fissato: il valore del limite dipenderà da $x$ (in generale) e se lasci $x$ libero di variare determini la funzione limite della successione.
Il calcolo del limite in sé non presenta particolari difficoltà, quindi ti esorto a postare le tue considerazioni.
P.S.: Puoi imparare a scrivere bene le formule leggendo qui.
Il calcolo del limite in sé non presenta particolari difficoltà, quindi ti esorto a postare le tue considerazioni.
P.S.: Puoi imparare a scrivere bene le formule leggendo qui.
Per fissare meglio i concetti per la risoluzione di questa tipologia di esercizi mi sarebbe utile studiarne i vari passaggi di uno "semplice" come questo. Pertanto ti chiedo, se è possibile, illustrarmelo in modalità step by step.
Grazie
Grazie
Vabbè. Provo ad essere il più chiaro possibile.
Abbiamo $f_n(x):=x-1/nx^n$ e vogliamo studiarne la convergenza puntuale ed uniforme in $[-1,1]$.
Cominciamo con la convergenza puntuale: come detto in precedenza, a questo punto bisogna ritenere fissata $x \in [-1,1]$ e vedere come si comporta la successione numerica $(f_n(x))_(n\in NN)$. Risulta:
$lim_n f_n(x)=lim_n x-1/nx^n=x-lim_n 1/nx^n \quad$;
visto che per $x\in [-1,1]$ si ha $-1<=x^n<=1$, si ha $lim_n 1/nx^n=0$ (prodotto di una successione infinitesima, $(1/n)$, per una limitata, $(x^n)$); pertanto:
$lim_n f_n(x)=x-0=x$
per ogni $x\in [-1,1]$. Ne viene che la successione di funzioni $(f_n)$ converge puntualmente in tutto $[-1,1]$ verso la funzione $f(x):=x$ (nel senso che $lim_n f_n(x)=f(x)$).
Ora veniamo alla convergenza uniforme. Dobbiamo considerare la successione degli "scarti massimi", ossia quella di termine generale $M_n:=max_(x \in [-1,1]) |f_n(x)-f(x)|$, e provare che essa è infinitesima; abbiamo per ogni $x\in [-1,1]$,
$|f_n(x)-f(x)|=|x-1/nx^n-x|=1/n|x^n| \quad$;
Per quanto visto prima, per $x\in [-1,1]$ si ha $-1<=x^n<=1$, quindi $|x^n|<=1$ e $max_(x \in [-1,1])|x^n|=1$; ciò implica che:
$M_n=max_(x\in [-1,1]) 1/n|x^n|=1/n*max_(x\in [-1,1]) |x^n|=1/n$
e perciò la successione $(M_n)$ è infinitesima. Ne consegue che $(f_n)$ converge anche uniformemente verso $f$.
In questo caso, la determinazione degli $M_n$ è stato semplice; in genere, però per determinare gli $M_n$ bisogna usare altri strumenti (tipo quelli del Calcolo Differenziale, con le derivate successive).
In altri casi, invece, non è nemmeno possibile determinare esattamante gli $M_n$ con le derivate: quando ci si trova in queste situazioni bisogna cercare di maggiorare ogni "funzione degli scarti" $|f_n-f|$ o con un numero $a_n$ scelto in modo che $a_n\to 0$, oppure con una successione di funzioni positive $g_n$ convergenti uniformemente all'applicazione nulla.
Ma di queste cose ti renderai conto andando avanti a fare esercizi.
Abbiamo $f_n(x):=x-1/nx^n$ e vogliamo studiarne la convergenza puntuale ed uniforme in $[-1,1]$.
Cominciamo con la convergenza puntuale: come detto in precedenza, a questo punto bisogna ritenere fissata $x \in [-1,1]$ e vedere come si comporta la successione numerica $(f_n(x))_(n\in NN)$. Risulta:
$lim_n f_n(x)=lim_n x-1/nx^n=x-lim_n 1/nx^n \quad$;
visto che per $x\in [-1,1]$ si ha $-1<=x^n<=1$, si ha $lim_n 1/nx^n=0$ (prodotto di una successione infinitesima, $(1/n)$, per una limitata, $(x^n)$); pertanto:
$lim_n f_n(x)=x-0=x$
per ogni $x\in [-1,1]$. Ne viene che la successione di funzioni $(f_n)$ converge puntualmente in tutto $[-1,1]$ verso la funzione $f(x):=x$ (nel senso che $lim_n f_n(x)=f(x)$).
Ora veniamo alla convergenza uniforme. Dobbiamo considerare la successione degli "scarti massimi", ossia quella di termine generale $M_n:=max_(x \in [-1,1]) |f_n(x)-f(x)|$, e provare che essa è infinitesima; abbiamo per ogni $x\in [-1,1]$,
$|f_n(x)-f(x)|=|x-1/nx^n-x|=1/n|x^n| \quad$;
Per quanto visto prima, per $x\in [-1,1]$ si ha $-1<=x^n<=1$, quindi $|x^n|<=1$ e $max_(x \in [-1,1])|x^n|=1$; ciò implica che:
$M_n=max_(x\in [-1,1]) 1/n|x^n|=1/n*max_(x\in [-1,1]) |x^n|=1/n$
e perciò la successione $(M_n)$ è infinitesima. Ne consegue che $(f_n)$ converge anche uniformemente verso $f$.
In questo caso, la determinazione degli $M_n$ è stato semplice; in genere, però per determinare gli $M_n$ bisogna usare altri strumenti (tipo quelli del Calcolo Differenziale, con le derivate successive).
In altri casi, invece, non è nemmeno possibile determinare esattamante gli $M_n$ con le derivate: quando ci si trova in queste situazioni bisogna cercare di maggiorare ogni "funzione degli scarti" $|f_n-f|$ o con un numero $a_n$ scelto in modo che $a_n\to 0$, oppure con una successione di funzioni positive $g_n$ convergenti uniformemente all'applicazione nulla.
Ma di queste cose ti renderai conto andando avanti a fare esercizi.
Ti ringrazio tantissimo!! mi è tutto chiaro e molto utile per proseguire gli studi di questo tipo.
Se posso approfittare della tua disponibilità sono alle prese con un esrcizio tipo:
Calcolare la divergenza della serie numerica
k
∞ 2 - 1
∑ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
k=1 k
2 adottando il criterio della radice il cui limite risulta essere l=1 come faccio a stabilire se la serie
converge o diverge?
Se posso approfittare della tua disponibilità sono alle prese con un esrcizio tipo:
Calcolare la divergenza della serie numerica
k
∞ 2 - 1
∑ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
k=1 k
2 adottando il criterio della radice il cui limite risulta essere l=1 come faccio a stabilire se la serie
converge o diverge?
Ti ringrazio tantissimo!! mi è tutto chiaro e molto utile per proseguire gli studi di questo tipo.
Se posso approfittare della tua disponibilità sono alle prese con un esrcizio tipo:
Calcolare la divergenza della serie numerica
sum[k=1,[infinity],((2^k)-1)/(2^k)]
adottando il criterio della radice il cui limite risulta essere l=1 come faccio a stabilire se la serie
converge o diverge?
Se posso approfittare della tua disponibilità sono alle prese con un esrcizio tipo:
Calcolare la divergenza della serie numerica
sum[k=1,[infinity],((2^k)-1)/(2^k)]
adottando il criterio della radice il cui limite risulta essere l=1 come faccio a stabilire se la serie
converge o diverge?
Suppongo la serie sia $\sum_(k=1)^(\infty) (2^k -1)/(2^k)$... in questo caso puoi notare subito che è una serie a termini positivi quindi o converge o diverge. Poichè $lim_(k rarr \infty) (2^k -1)/(2^k) = 1 != 0$ la serie non converge, quindi diverge a $+\infty$.
H provato a risolvere questa serie con la ti89 adoperando il software -Converge- e il risultato è :
(4^x - 1)^(1/x)/2
limit=2 > 1
Series Divergente
(4^x - 1)^(1/x)/2
limit=2 > 1
Series Divergente
Stamattina l'ho detto come utente normale, stasera te lo chiedo da neo-moderatore.
[mod="Gugo82"]Rozingo, potresti usare MathML per scrivere le formule, così viene tutto più leggibile e gli utenti faticano meno a risponderti?
Il link con le istruzioni lo trovi qui.
Grazie.
[/mod]
[mod="Gugo82"]Rozingo, potresti usare MathML per scrivere le formule, così viene tutto più leggibile e gli utenti faticano meno a risponderti?
Il link con le istruzioni lo trovi qui.
Grazie.
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