Verifica della continuità nell'intervallo

[ekans1]

Chiedo conferme riguardo a questo metodo risolutivo per questo esercizio: Verificare la continuità in (-infinito , +infinito) per la funzione f(x):

$((3^x)-1)/(x)$ per $x>0$

$log3$ per $x=0$

$log((5-3x)/(x^2-x))$ per $x<0$

Adesso io procederei nel calcolare i seguenti limiti:

-limite di $((3^x)-1)/(x)$ per x ---> + infinito da sinistra

-limite di $log((5-3x)/(x^2-x))$ per x ---> - infinito da destra

per poi confrontarli sia tra di loro che con il valore della f nello zero

è corretto applicare tale procedura ? Rispondete per favore, è una richiesta da niente, dovreste dirmi solo quali limiti calcolare , grazie

[ciampax]

Cosa vuol dire $x\to+\infty$ da sinistra? Ti pare che a $+\infty$ tu ti ci possa avvicinare da destra? E in ogni caso, come la definiristi tu la "continuità" all'infinito, di grazia? Per come ragioni, pare che tu prenda la retta dei numeri reali e la agganci all'infinito... facendola diventare una circonferenza. Conosci la definizione di continuità? (per quanto mi riguarda, mi pare che la risposta sia no!)

[Camillo]

Perchè mai calcoli i valori dei limiti delle varie funzioni per $ x rarr +-oo $ quando il punto in cui la funzione potrebbe non essere continua è invece $x=0 $ ???
Devi calcolare i seguenti limiti :
$lim_(x rarr 0^(+))((3^x-1)/x) $ e confrontarlo col valore $f(0)=log3 $ .
$lim_(x rarr 0^(-)) log((5-3x)/(x^2-x))$ e confronatrlo ancora col valore $f(0)=log3 $.

[Gi81]

Non ho mai sentito parlare di "+ infinito da sinistra" e "- infinito da destra".
Forse intendevi $0^+$ e $0^-$? Perchè qui gli infiniti non c'entrano niente.
La faccenda è semplice: l'unico punto dove ci sono dubbi sulla continuità è $x=0$. In tutti gli altri punti $f(x)$ è continua.
Per verificare se $f(x)$ è continua in $0$, devi risolvere $lim_(x->0^+) (3^x-1)/x$ e $lim_(x->0^-) log((5-3x)/(x^2-x))$
Se in entrambi i casi il risultato è $log(3)$, allora la funzione è continua anche in $x=0$, altrimenti no.
edit: anticipato

[ekans1]

vi ringrazio per le risposte, perdonatemi ma è da tempo immemore che non studiavo per cui a volte capita che io dica sciocchezze . Adesso vi chiedo, se al posto dell'intervallo (- infinito, + infinito) ci fosse stato (-2,2) allora in quel caso si sarebbero calcolati i limite destro e sinistro per questi 2 valori ?

EDIT: forse ho capito, la continuità si verifica solo nei punti intermedi del dominio, agli estremi non può essere discontinua, giusto ?

[Antimius]

Dipende dalla funzione. Tu conosci la continuità delle funzioni elementari, sai che somma, prodotto, reciproco e composizione di funzione continue conservano la continuità. Quindi con questo già hai fatto il pezzo grosso. Ti rimane da controllare i punti dubbi. Nel tuo caso in un intorno di [tex]$0$[/tex] la funzione ha diverse espressioni, quindi devi controllare l'andamento verso [tex]$0$[/tex] e vede se i limiti sono uguali al valore nel punto.
Agli estremi può essere discontinua comunque.
Ad esempio: [tex]$f: [0,+\infty) \to \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$f(x)=\begin{cases} \log{x} & \text{se}\, x >0 \\ 0 & \text{se} \, x=0 \end{cases}$[/tex]
ha una discontinuità di seconda specie in [tex]$0$[/tex]

[ekans1]

capisco, ma nel tuo caso puoi calcolare solo il limite dello 0 da un lato e confrontarlo con il valore della funzione nel punto. Essendo che $log 0$= - infinito stabilisci che la funzione è discontinua di seconda specie, ma se ad esempio invece di dare come risultato - infinito avesse dato un numero, come avresti stabilito il tipo di discontinuità non avendo un limite sinistro con cui fare un confronto ?

[ciampax]

"Antimius":Dipende dalla funzione. Tu conosci la continuità delle funzioni elementari, sai che somma, prodotto, reciproco e composizione di funzione continue conservano la continuità.

Solo se la funzione non si annulla sull'insieme su cui la consideri.