Verifica della continuità
Ciao, vi propongo questo esercizio che ho trovato da un paragrafo sulla uniforme continuità, e che non riesco a dimostrare:
La funzione \(\displaystyle f(x)=1/x:(0,+\infty) \to (0,+\infty) \) è continua in ogni punto \(\displaystyle x_0 >0 \). Verificare che fissato \(\displaystyle \varepsilon \), si ha \(\displaystyle 0<\delta(\varepsilon, x_0)\leq \frac {\varepsilon x_0^2}{1+\varepsilon x_0} \) .
Se c'è bisogno, posso postare quello che ho provato a fare io. Grazie
La funzione \(\displaystyle f(x)=1/x:(0,+\infty) \to (0,+\infty) \) è continua in ogni punto \(\displaystyle x_0 >0 \). Verificare che fissato \(\displaystyle \varepsilon \), si ha \(\displaystyle 0<\delta(\varepsilon, x_0)\leq \frac {\varepsilon x_0^2}{1+\varepsilon x_0} \) .
Se c'è bisogno, posso postare quello che ho provato a fare io. Grazie
Risposte
Dovresti postare ciò che hai fatto tu, in ogni caso, come da regolamento.
Allora provo a scrivere quello che ho pensato io:
supponiamo di aver fissato \(\displaystyle x_0>0 \) e \(\displaystyle \varepsilon>0 \). Quello che dobbiamo cercare è un \(\displaystyle \delta =\delta(\varepsilon, x_0) \) per il quale valga \(\displaystyle \vert f(x)-f(x_0)\vert =\vert 1/x-1/x_0\vert <\varepsilon \) per ogni \(\displaystyle x : \vert x - x_0\vert < \delta \).
Dunque, io ho provato a partire da \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert = \frac {\vert x-x_0\vert}{x x_0} \) (perché \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x_0>0 \)) da cui \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert < \frac {\delta}{x x_0} = \frac{\delta}{x_0}\frac{1}{x} < (...) < \varepsilon \)
Ora per riempire quei puntolini, cercando di togliere di mezzo quella \(\displaystyle x \), mi verrebbe in mente (ma non so se è corretto) di usare ancora una volta la disuguaglianza voluta con lo stesso \(\displaystyle \varepsilon \), cioè ripartendo ancora da \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert \) e utilizzando la disuguaglianza triangolare:
\(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert \leq \vert\frac{1}{x}\vert + \vert-\frac {1}{x_0}\vert=\frac{1}{x} + \frac {1}{x_0} \) (perché \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x_0>0 \)) e ponendo anche questo minore di \(\displaystyle \varepsilon \), si trova:
\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac {1}{x_0} < \varepsilon \) cioè \(\displaystyle \frac{1}{x}<-\frac {1}{x_0}+\varepsilon \ \ (1) \)
Allora inserendo la disuguaglianza \(\displaystyle (1) \) nei puntolini \(\displaystyle (...) \) :
\(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert < \frac{\delta}{x_0} (-\frac {1}{x_0}+\varepsilon) = \frac {\delta (-1+\varepsilon x_0)}{x_0^2}<\varepsilon \) da cui non si arriva al risultato.
Inoltre: è giusto il passaggio che ho sottolineato in rosso?
supponiamo di aver fissato \(\displaystyle x_0>0 \) e \(\displaystyle \varepsilon>0 \). Quello che dobbiamo cercare è un \(\displaystyle \delta =\delta(\varepsilon, x_0) \) per il quale valga \(\displaystyle \vert f(x)-f(x_0)\vert =\vert 1/x-1/x_0\vert <\varepsilon \) per ogni \(\displaystyle x : \vert x - x_0\vert < \delta \).
Dunque, io ho provato a partire da \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert = \frac {\vert x-x_0\vert}{x x_0} \) (perché \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x_0>0 \)) da cui \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert < \frac {\delta}{x x_0} = \frac{\delta}{x_0}\frac{1}{x} < (...) < \varepsilon \)
Ora per riempire quei puntolini, cercando di togliere di mezzo quella \(\displaystyle x \), mi verrebbe in mente (ma non so se è corretto) di usare ancora una volta la disuguaglianza voluta con lo stesso \(\displaystyle \varepsilon \), cioè ripartendo ancora da \(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert \) e utilizzando la disuguaglianza triangolare:
\(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert \leq \vert\frac{1}{x}\vert + \vert-\frac {1}{x_0}\vert=\frac{1}{x} + \frac {1}{x_0} \) (perché \(\displaystyle x>0 \) e \(\displaystyle x_0>0 \)) e ponendo anche questo minore di \(\displaystyle \varepsilon \), si trova:
\(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac {1}{x_0} < \varepsilon \) cioè \(\displaystyle \frac{1}{x}<-\frac {1}{x_0}+\varepsilon \ \ (1) \)
Allora inserendo la disuguaglianza \(\displaystyle (1) \) nei puntolini \(\displaystyle (...) \) :
\(\displaystyle \vert \frac{1}{x} - \frac {1}{x_0}\vert < \frac{\delta}{x_0} (-\frac {1}{x_0}+\varepsilon) = \frac {\delta (-1+\varepsilon x_0)}{x_0^2}<\varepsilon \) da cui non si arriva al risultato.
Inoltre: è giusto il passaggio che ho sottolineato in rosso?
"EdmondDantès":
\(\displaystyle \frac{\delta(-1+\varepsilon x_0)}{x_0^2} <\varepsilon \) da cui non si arriva al risultato.
E se invece facessi:\(\displaystyle \frac{\delta(-1+\varepsilon x_0)}{x_0^2} < \frac{\delta(+1+\varepsilon x_0)}{x_0^2} < \varepsilon \) , arriverei a \(\displaystyle \delta<\frac{\varepsilon x_0^2}{1+\varepsilon x_0} \) che è proprio il risultato.
Sta in piedi tutto il mio ragionamento? Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo