Verifica dei limiti

[KrusH]

salve ragazzi mi sto preparando all'esame di analisi 1 non riesco a fare delle verifiche di limite
ho questo esercizio che non riesco a fare
riuscireste a darmi qualche consiglio? vi faccio vedere pure come faccio io e se sto sbagliano o no
allora la traccia è questa:

$ lim_(x -> 0) log2 (x+2) = 1 $

il logaritmo è in base 2 non so sè l'ho scritto bene non trovavo il metodo per metterlo in pedice
comunque il mio prof di analisi mi ha detto di fare con la verifica di limite quindi io procedo in questo modo

$ AA E>0, EE del >0 : |log2 (x+2) -1|
la E per me è la epsilon non l'ho trovata nelle opzioni
comunque con questa definizione poi la vado a svolgere e sciolgo il valore assoluto in questo modo

$ -E
poi passo l'uno e mi viene così

$ -E+1
poi la parte negativa la posso eliminare visto che il logaritmo non può mai venire minore quindi rimane solo la parte positiva e rimane così

$ log2(x+2)<1+E $

poi per eliminare il logaritmo devo elevare tutto a 2 e viene così

$ (x+2)<(2)^(1+E) $

adesso passo il 2 dall'altro lato e lo considero come 2 elevato alla 1

$ x<(2)^(1)+(2)^(1+E) $

e poi come procedo?
scusate se ho scritto scemenze ma leggendo sul quaderno degli appunti sono uscito a queste deduzioni XD
speriamo che supero quest'esame
grazie

[Antimius]

"KrusH":salve ragazzi mi sto preparando all'esame di analisi 1 non riesco a fare delle verifiche di limite

poi la parte negativa la posso eliminare visto che il logaritmo non può mai venire minore quindi rimane solo la parte positiva e rimane così

A parte che $1-E$ è positivo per $E<1$. Ma in ogni caso, è falso che il logaritmo non assume valori negativi. Infatti se $x<1$ allora $log x < 0$.
Certo è che, nel tuo caso, se prendi $x$ in un intorno sufficientemente piccolo di $0$, allora $log(x+2)>0$.

La tua disuguaglianza puoi scriverla $2^(1-E) < x+2 < 2^(E+1)$. Sai continuare da qui?

[KrusH]

si questo l'ho omesso intendevo considerare la E>0 ma comunque molto piccolo come valore
dovrebbe venire così:

$2^(E-1) < x+2 < 2^(E+1)$

poi se considero il 2 come $2 ^ 1 $ dovrebbe venire:

$ 2^(E-1)-2^1 < x < -2^1+2^(E+1) $

giusto? e poi come devo fare? è qui che non so continuare

[itpareid]

"KrusH":poi se considero il 2 come $2 ^ 1 $ dovrebbe venire:
$ 2^(E-1)-2^1 < x < -2^1+2^(E+1) $

semmai $2^(1-E)-2^1 < x < -2^1+2^(E+1)$
poi raccoglierei un $2$ e verificherei che per ogni $E>0$ hai effettivamente un intorno dello $0$

[KrusH]

non ho capito come raccolgo il 2