Verifica convergenza serie
Salve a tutti.. Volevo solamente sapere se il metodo che utilizzo per risolvere queste serie è corretto...
L'esercizio cita "Studiare il carattere delle seguenti serie"
1. $sum_(n = 1)^(+ oo) 1/{(n + 1)(n^2+1)]$
2. $sum_(n=1)^(+ oo) (-1)^n 1/[(n+1)(n^2+1)]$
Io ho risolto così:
1. Applico il criterio del confronto. Devo trovare allora una serie rispetto la quale $1/{(n + 1)(n^2+1)$ risulta essere massimale, possibilmente sarebbe meglio ricondurmi ad una serie armonica così da sepere quando converge. Quindi
$sum_(n = 1)^(+ oo) 1/{(n + 1)(n^2+1)] > sum_(n = 1)^(+ oo) 1/(n^3)$
convergendo quindi $1/(n^3)$ anche $1/{(n + 1)(n^2+1)$ sarà convergente.
2. Applico il criterio di Leibniz. Quest'ultimo ha questo enunciato
nel mio caso $a_n=1/[(n+1)(n^2+1)]$ e risulta essere una serie decrescente e anche il $lim_(n-> + oo) a_n = 0$, quindi la serie data, ossia $sum_(n=1)^(+ oo) (-1)^n 1/[(n+1)(n^2+1)]$ è pure convergente.
E' giusto?
Grazie mille per le risposte
L'esercizio cita "Studiare il carattere delle seguenti serie"
1. $sum_(n = 1)^(+ oo) 1/{(n + 1)(n^2+1)]$
2. $sum_(n=1)^(+ oo) (-1)^n 1/[(n+1)(n^2+1)]$
Io ho risolto così:
1. Applico il criterio del confronto. Devo trovare allora una serie rispetto la quale $1/{(n + 1)(n^2+1)$ risulta essere massimale, possibilmente sarebbe meglio ricondurmi ad una serie armonica così da sepere quando converge. Quindi
$sum_(n = 1)^(+ oo) 1/{(n + 1)(n^2+1)] > sum_(n = 1)^(+ oo) 1/(n^3)$
convergendo quindi $1/(n^3)$ anche $1/{(n + 1)(n^2+1)$ sarà convergente.
2. Applico il criterio di Leibniz. Quest'ultimo ha questo enunciato
Sia data la serie $sum_(n=0)^(oo) (-1)^n a_n$, con $a_n>0 AA n in NN$. Se
1. la successione ${a_n}$ è decrescente
2. $lim_(n-> + oo) a_n = 0$
allora la serie è convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso di quelle di indice dispari per difetto; il resto della serie è maggiorato, in valore assoluto, dal primo termine trascurato.
nel mio caso $a_n=1/[(n+1)(n^2+1)]$ e risulta essere una serie decrescente e anche il $lim_(n-> + oo) a_n = 0$, quindi la serie data, ossia $sum_(n=1)^(+ oo) (-1)^n 1/[(n+1)(n^2+1)]$ è pure convergente.
E' giusto?
Grazie mille per le risposte
Risposte
Quel confronto tra le due somme delle serie che hai scritto, non ha il significato che vuoi attribuirgli piú in basso. Guarda bene cosa dice il criterio del confronto.
La seconda serie la studi correttamente, quindi, si, é giusto.
Ciao
La seconda serie la studi correttamente, quindi, si, é giusto.
Ciao
Avrei una nota da muovere al primo: $(n+1)(n^2+1)>n^3\Rightarrow1/((n+1)(n^2+1))<1/n^3\Rightarrow0<\sum_{n=1}^\infty1/((n+1)(n^2+1))<\sum_{n=1}^\infty1/n^3<\infty$ quindi puoi concludere che sia convergente. La nota è verso il concetto che hai espresso: non devi cercare una serie maggiorata dalla tua ma una che maggiori la tua, così se questa è convergente essendo la tua "schiacciata" tra lei e lo $0$ converge.
Ti convince?
Ti convince?
Grazie ad entrambi per aver risposto.
Si.. quindi, prendendo per esempio questa serie $sum_(n=2)^(+oo) 1/(n^2+1)$ si nota che $n^2 +1 > n^2 rArr 1/(n^2 + 1)< 1/n^2$ e quindi quest'ultima è una serie armonica convergente, di conseguenza $sum_(n=2)^(+oo) 1/(n^2+1)$ converge
Giusto?
Si.. quindi, prendendo per esempio questa serie $sum_(n=2)^(+oo) 1/(n^2+1)$ si nota che $n^2 +1 > n^2 rArr 1/(n^2 + 1)< 1/n^2$ e quindi quest'ultima è una serie armonica convergente, di conseguenza $sum_(n=2)^(+oo) 1/(n^2+1)$ converge
Giusto?
Perfetto, ricordati solo di notare anche che la serie è positiva, se no ti manca la garanzia che sia limitata inferiormente da $0$.
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