Verifica continuità e derivabilità
Quando si ha una funzione come si fa a verificare se essa è continua su tutto il dominio?
Ammesso che sia continua come si fa a verificare se essa è derivabile su tutto il dominio?
Ammesso che sia continua come si fa a verificare se essa è derivabile su tutto il dominio?
Risposte
Per verificare che una funzione sia continua in un punto devi accertare questa uguaglia, ovvero:
$\lim_{x \to \x_o}f(x)=f(x_o)$
Se l'uguaglianza è vera allora la funzione è continua in quel punto. Per vedere se è continua in tutto il dominio, questo dipende dal dominio stesso. Ad esempio, se hai una funzione del tipo $f(x)=1/x$, l'insieme di definizione di questa funzione sarà tutto $RR$ escluso $x=0$. Ora vai a verificare la definizione di continuità, e noti subito come essa non sarà verificata. Pertanto la funzione è continua il tutto $RR$ ma non sarà continua il $x=0$.
Per la derivabilità, devi applicare la definizione di derivata ovvero il limite del rapporto incrementale. Se devi cercare la derivabilità in un punto vai a verificare il limite e se il limite è uguale sia da destra che da sinistra allora la funzione sarà derivabile in quel punto. Per vedere se è derivabile nel dominio, questo dipende sempre dal dominio e dai punti in la funzione è continua.
Ricorda sempre una funzione derivabile in un punto è una funzione continua, ma una funzione continua non è detto che sia derivabile.
$\lim_{x \to \x_o}f(x)=f(x_o)$
Se l'uguaglianza è vera allora la funzione è continua in quel punto. Per vedere se è continua in tutto il dominio, questo dipende dal dominio stesso. Ad esempio, se hai una funzione del tipo $f(x)=1/x$, l'insieme di definizione di questa funzione sarà tutto $RR$ escluso $x=0$. Ora vai a verificare la definizione di continuità, e noti subito come essa non sarà verificata. Pertanto la funzione è continua il tutto $RR$ ma non sarà continua il $x=0$.
Per la derivabilità, devi applicare la definizione di derivata ovvero il limite del rapporto incrementale. Se devi cercare la derivabilità in un punto vai a verificare il limite e se il limite è uguale sia da destra che da sinistra allora la funzione sarà derivabile in quel punto. Per vedere se è derivabile nel dominio, questo dipende sempre dal dominio e dai punti in la funzione è continua.
Ricorda sempre una funzione derivabile in un punto è una funzione continua, ma una funzione continua non è detto che sia derivabile.
"Vicia":
... Ora vai a verificare la definizione di continuità, e noti subito come essa non sarà verificata. ...
Perché?
"Vicia":
Per verificare che una funzione sia continua in un punto...
E' proprio questo il mio problema. Quando si tratta di un unico punto sono in grado di verificare continuità e derivabilità..quando invece si ha un intervallo di punti come bisogna procedere? Ad esempio, se avessi una funzione definita in tutto R come faccio a trovare i punti in cui probabilmente la funzione non è continua? (Una volta trovati questi punti basta verificare e quello è chiaro)
Se la funzione è definita in tutto $RR$ e non ci sono punti di discontinuità allora la funzione è continua in tutto il suo dominio.
Nell'esempio che ti ho fatto prima $x=0$ era un punto di discontinuità, ma oltre quel punto la funzione è definita in tutto $RR$ e quindi continua in $x=2 , x=3 $ e così via.
Per intenderci, una funzione è continua quando "tracci il suo grafico senza mai staccare la penna dal foglio". E' una definizione ovviamente non precisa, ma utile per capire che cosa si intende per continuità. Tu "stacchi" la penna dal foglio laddove ci sono dei punti in cui la funzione non è continua, punti in cui allora la funzione non è definita, o presenta punti di discontinità. La funzione $fx)=1/x$ è un iperbole equilatera che in $x=0$ presenta un asintoto verticale, ed è lì che sta il tuo punto di discontinuità e dunque il punto in cui la funzione non è continua e non è definita in questo caso. Ma negli altri punti del dominio è continua.
Spero di essermi spiegata
Nell'esempio che ti ho fatto prima $x=0$ era un punto di discontinuità, ma oltre quel punto la funzione è definita in tutto $RR$ e quindi continua in $x=2 , x=3 $ e così via.
Per intenderci, una funzione è continua quando "tracci il suo grafico senza mai staccare la penna dal foglio". E' una definizione ovviamente non precisa, ma utile per capire che cosa si intende per continuità. Tu "stacchi" la penna dal foglio laddove ci sono dei punti in cui la funzione non è continua, punti in cui allora la funzione non è definita, o presenta punti di discontinità. La funzione $fx)=1/x$ è un iperbole equilatera che in $x=0$ presenta un asintoto verticale, ed è lì che sta il tuo punto di discontinuità e dunque il punto in cui la funzione non è continua e non è definita in questo caso. Ma negli altri punti del dominio è continua.
Spero di essermi spiegata
"Vicia":
Nell'esempio che ti ho fatto prima $x=0$ era un punto di discontinuità, ...
Ma sei sicura?
Ciclicamente questa cosa di $1/x$ e $0$ salta fuori...
"axpgn":
[quote="Vicia"]Nell'esempio che ti ho fatto prima $x=0$ era un punto di discontinuità, ...
Ma sei sicura?[/quote]
Se non è un punto di discontinuità allora cosa dovrebbe essere?
Non è un punto del dominio, lì la funzione non è definita quindi non ha senso parlare di continuità o discontinuità ...
Tornando alla questione posta da Plinio78, per verificare che una funzione è continua su tutto il dominio, si può fare in diversi modi, in genere negli esercizi (che immagino sia la cosa che ti interessa principalmente) si hanno funzioni che a tratti (cioè definite per casi, dove ciò che conta è a che intervallo appartiene $x$) sono funzioni elementari, quindi si può usare qualche teorema proveniente dalla teoria che dice che somma, differenza, prodotto, rapporto, inversa e composizione di funzioni continue è comunque una funzione continua (da precisare in che punti).
Rimane dunque da verificare se la funzione è continua nei punti in cui gli intervalli della definizione della funzione si sovrappongono, ma questo hai detto di saperlo fare, in quanto basta verificare solo in un punto la continuità della funzione.
Più in generale, si può considerare come un limite dipendente da un parametro (che è l'$x_0$ a cui tende la $x$), che secondo me hai già incontrato, se non ne hai trovati in cui il parametro è "sotto" al limite, non c'è problema, basta porre $y=x-x_0$ e ti ritrovi un limite in $y$ in cui la $y$ tende sempre a $0$ di una funzione dipendente da un parametro.
Dimmi se qualcosa non ti è chiaro e magari riesco a spiegarti meglio alcuni punti.
Rimane dunque da verificare se la funzione è continua nei punti in cui gli intervalli della definizione della funzione si sovrappongono, ma questo hai detto di saperlo fare, in quanto basta verificare solo in un punto la continuità della funzione.
Più in generale, si può considerare come un limite dipendente da un parametro (che è l'$x_0$ a cui tende la $x$), che secondo me hai già incontrato, se non ne hai trovati in cui il parametro è "sotto" al limite, non c'è problema, basta porre $y=x-x_0$ e ti ritrovi un limite in $y$ in cui la $y$ tende sempre a $0$ di una funzione dipendente da un parametro.
Dimmi se qualcosa non ti è chiaro e magari riesco a spiegarti meglio alcuni punti.
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