Verifica condizione iniziale problema di Cauchy

[gabry501]

Salve, ho un dubbio riguardo la risoluzione dei problemi di Cauchy.
Quando ho un'equazione a variabili separabili e posso trovare la soluzioni costanti, ad esempio (problema inventato):
\begin{cases}& y'=y(5x+1)\\&y(1)=1\end{cases}

La soluzione costante è \(\displaystyle y=0 \)ma posso includerla?
Da quel che ho capito quando non rispetta le condizioni iniziali.
Forse dovrei vedere se quella soluzione è valida solo se per\(\displaystyle x=1 \)ottengo\(\displaystyle y=1 \) e quindi in questo caso non posso tenerla in conto, quindi se avessi \(\displaystyle y(1)=0 \)come condizione iniziale dovrei prenderla in considerazione?

Invece se escludo quindi le soluzioni costanti (chiamate anche di prima categoria), cosa posso dire a riguardo dei prolungamenti (soluzioni di terza categoria)? Non saranno presenti?

[ciampax]

NO: se $y=0$ ovviamente non avrai mai che $y(1)=1$, ti pare?

[gabry501]

Volevo una conferma del fatto di aver capito. Quindi con condizione \(\displaystyle y(1)=0 \) invece è soluzione.
Grazie dell'aiuto.

[robying1]

Salve,
sfrutto la discussione per porre il mio dubbio sulla stessa "condizione iniziale"
L'equazione è
$ y'(1+e^-x)siny+cosy=0 $
con
$ y(0)=pi/4 $
Se riscrivo come
$ y'=-cosy/(siny) 1/(1+e^-x) $
la mia
$ b(y)=-cosy/(siny) $
e
$ a(x)=1/(1+e^-x) $

quindi per verificare che
$ b(y)=0 $
devo controllare che
$ -cosy/(siny)=0 $ quindi che $ -cosy=0 $
Dico bene?
Oppure dovrei verificare che
$ b(pi/4)=0 $
cioè
$ -cosy/(siny)=0 $ ma avendo $ y=pi/4 $ allora $ cos(y)=sin(y) $
quindi non è soluzione singolare?

[gugo82]

"robying":Salve,
sfrutto la discussione per porre il mio dubbio sulla stessa "condizione iniziale"
L'equazione è
$ y'(1+e^-x)siny+cosy=0 $
con
$ y(0)=pi/4 $
Se riscrivo come
$ y'=-cosy/(siny) 1/(1+e^-x) $
la mia
$ b(y)=-cosy/(siny) $
e
$ a(x)=1/(1+e^-x) $

quindi per verificare che
$ b(y)=0 $
devo controllare che
$ -cosy/(siny)=0 $ quindi che $ -cosy=0 $
Dico bene?
Oppure dovrei verificare che
$ b(pi/4)=0 $
cioè
$ -cosy/(siny)=0 $ ma avendo $ y=pi/4 $ allora $ cos(y)=sin(y) $
quindi non è soluzione singolare?

Sinceramente, non capisco la domanda.

Quando vuoi verificare se una funzione costante \(y(x)=a\) è una soluzione della EDO, basta che sostituisci \(y=a\) ed \(y^\prime =0\) nella EDO e vedi se ne esce fuori un'identità: se sì, \(y(x)=a\) è soluzione; se no, non lo è.
In questo caso, la funzione costante \(y(x)=\pi/4\), che è l'unica funzione costante a soddisfare la condizione iniziale del PdC, non è una soluzione della EDO perciò essa non è soluzione nemmeno del PdC.

[robying1]

"gugo82":
Sinceramente, non capisco la domanda.
Quando vuoi verificare se una funzione costante \(y(x)=a\) è una soluzione della EDO, basta che sostituisci \(y=a\) ed \(y^\prime =0\) nella EDO e vedi se ne esce fuori un'identità: se sì, \(y(x)=a\) è soluzione; se no, non lo è.
In questo caso, la funzione costante \(y(x)=\pi/4\), che è l'unica funzione costante a soddisfare la condizione iniziale del PdC, non è una soluzione della EDO perciò essa non è soluzione nemmeno del PdC.

Intanto grazie gugo82
Nei miei appunti ho scritto, nel caso di equazioni a variabili separabili con PdC:
$ { ( y'=a(x)b(y) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
quindi se
$ z(x)=c $ soluzione cercata
$ 0=a(x)b(c) $
se
$ b(y_0)=0 $ essendo in unicità $ z(x)=y_0 $
è finito l'esercizio
perchè si tratta di una soluzione del PdC

[robying1]

"gugo82":[quote="robying"]Salve,
sfrutto la discussione per porre il mio dubbio sulla stessa "condizione iniziale"
L'equazione è
$ y'(1+e^-x)siny+cosy=0 $
con
$ y(0)=pi/4 $

[/quote]
Cioè devo sostituire ad
$ y=pi/4 $
$ y'=0 $
e
$ x=0 $
ottenendo
$ 0(2)sin(pi/4)+cos(pi/4)=0 $
che darà
$ 1/(root()(2)=0 $
quindi non è soluzione, giusto?

"gugo82":
In questo caso, la funzione costante \(y(x)=\pi/4\), che è l'unica funzione costante a soddisfare la condizione iniziale del PdC, non è una soluzione della EDO perciò essa non è soluzione nemmeno del PdC.

Credo di aver capito...ma dimmi se ho "centrato" l'argomento, grazie