Verifica comprensione forme differenziali
Data la forma differenziale:
$omega=y/(2(sqrt(xy)+xy))dx+x/(2(sqrt(xy)+xy))dy$
calcolare:
$int_gamma omega$
essendo $gamma$ il sostegno della curva di equazione $(2+t,1/(1+t^2))$ con $t in [0,1]$
Calcolando i punti iniziali e finali sostituendo i valori 0 e 1 alla parametrizzazione della curva, trovo i valori iniziali e finali della curva $(2,1)$ e $(3,1/2)$.
Inoltre siccome la forma differenziale è chiusa e nel semipiano $ ] 0;+oo [$ x $ ]0,+oo[ $ la forma differenziale è definita in uno stellato posso quindi affermare che esatta. Questo mi permette di scegliere un percorso a mio piacimento,
es mediante i segmenti $(t,1) t in [2;3]$ e $(3,t) con t in [3;1/2]$
posso risolvere gli integrali
$int_(2)^(3) 1/(2(sqrt(t)+t))dt$
$int_(3)^(1/2) 3/(2(sqrt(3t)+3t))dt$
e trovare quindi mediante la loro somma il valore di $int_gamma omega$
Secondo voi è risolto in modo corretto? con i mezzi che ho a disposizione
$omega=y/(2(sqrt(xy)+xy))dx+x/(2(sqrt(xy)+xy))dy$
calcolare:
$int_gamma omega$
essendo $gamma$ il sostegno della curva di equazione $(2+t,1/(1+t^2))$ con $t in [0,1]$
Calcolando i punti iniziali e finali sostituendo i valori 0 e 1 alla parametrizzazione della curva, trovo i valori iniziali e finali della curva $(2,1)$ e $(3,1/2)$.
Inoltre siccome la forma differenziale è chiusa e nel semipiano $ ] 0;+oo [$ x $ ]0,+oo[ $ la forma differenziale è definita in uno stellato posso quindi affermare che esatta. Questo mi permette di scegliere un percorso a mio piacimento,
es mediante i segmenti $(t,1) t in [2;3]$ e $(3,t) con t in [3;1/2]$
posso risolvere gli integrali
$int_(2)^(3) 1/(2(sqrt(t)+t))dt$
$int_(3)^(1/2) 3/(2(sqrt(3t)+3t))dt$
e trovare quindi mediante la loro somma il valore di $int_gamma omega$
Secondo voi è risolto in modo corretto? con i mezzi che ho a disposizione
Risposte
Se hai determinato che è esatta, non sarebbe più semplice trovarne una primitiva e poi calcolare l'integrale come la differenza dei valori che tale primitiva assume nei punti iniziale e finale? Sinceramente quegli integrali che vuoi risolvere non sono molto sicuro ti portino da qualche parte.
quegli integrali non credo siano difficili da calcolare con una opportuna sostituzione. comunque si se si trova una primitiva si risparmia il calcolo degli integrali
Ah ok quindi potrei trovare il potenziale e poi calcolare i valori nel punto finale e iniziale. grazie:)
La primitiva verrebbe:
$2log(sqrt(xy)+1)$ ?
$2log(sqrt(xy)+1)$ ?
Senza il due: è comunque LE primitive sono della forma $f(x,y)=\log|1+\sqrt{xy}|+c$ con $c\in RR$.
perfetto ma $c$ è una costante che dipende da x e che quindi devo trovare?
"nunziox":
perfetto ma $c$ è una costante che dipende da x e che quindi devo trovare?
Come fa una costante a dipendere da $x$? Ma dico io, ma lo accendete il cervello prima di parlare?
forse mi sto confondendo:)
nei mie appunti ho questo esempio:
$omega=ye^xdx+(e^x-cosy)dy$
$u(x,y)=ye^x+g(y)$
ponendo $g'(y)=-cosy$
ottengo:
$g(y)=-seny+c$
quindi
$U(x,y)=ye^x-seny+c$
in questo caso chi è g'(y)?
nei mie appunti ho questo esempio:
$omega=ye^xdx+(e^x-cosy)dy$
$u(x,y)=ye^x+g(y)$
ponendo $g'(y)=-cosy$
ottengo:
$g(y)=-seny+c$
quindi
$U(x,y)=ye^x-seny+c$
in questo caso chi è g'(y)?
Guarda che quello che ti ho scritto è il risultato finale...
grazie ho capito:)
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