Verifica che una successione sia di Cauchy

[salvozungri]

visto che vale per ogni m allora vale anche per $m= n+1$ a questo punto risolvi la disequazione in $n$ dimostrando che esiste quindi $\bar{n}= \bar{n}_{\varepsilon}$ tale che... Scusami devo andare a pranzare. Spero che il mio suggerimento sia utile

[Steven11]

Ho un vago sospetto che non sia troppo opportuno utilizzare il fatto che $y_n=1/n^2$ converge.
Se fosse invece corretto, come spero mi saprà dire qualcuno, potremmo formalizzare così.

$y_n=1/n^2$ converge a zero, quindi fissato $(epsilon)/2>0$ esiste un $nu\inNN$ tale che
$1/n^2\nu$

Quindi per la dis. triangolare possiamo scrivere
$|1/n^2-1/m^2|<=|1/n^2|+|-1/m^2|=$

$=1/n^2+1/m^2
avendo scelto $n$ e $m$ maggiori del $\nu$ esistente in partenza.

Il fatto è che se vogliamo usare la convergenza di $1/n^2$ allora conviene direttamente dire che pure la data $a_n$ converge (somma di succ. convergenti) e quindi soddisfa, per il noto risultato, la condizione di Cauchy.
E' pur vero che in tal modo non si costruisce alcun indice, mentre come ho fatto sopra si determina un indice $\nu$ con nome e cognome, come sembra chiedesse l'esercizio.

[Studente Anonimo]

Ciao

"Sergio":@Steven: La tua soluzione è molto carina, ma condivido il tuo "vago sospetto". Mi viene il dubbio che il tuo procedimento non sia altro che quello che si usa per dimostrare che ogni successione convergente è anche di Cauchy.
Ma se io "non sapessi" che la successione converge? Se volessi "solo" dimostrare che è di Cauchy?

Secondo me non esiste un procedimento che non usa il fatto che la $1/n^2$ converge. Quello che credo sia il motivo è il seguente: la differenza tra una successione che converge e una di Cauchy è molto vicina ad essere proprio il punto di convergenza, che può essere fuori dall'insieme in cui stiamo vivendo. Per esempio la successione $1/n^2$ in $RR-{0}$ è solo di Cauchy, non converge. Ogni successione di Cauchy in uno spazio metrico è convergente in qualche "sovraspazio" (per esempio il completamento).
Quindi in realtà ogni successione di Cauchy converge, ma a un punto che forse non si vede.

[Fioravante Patrone1]

"Steven":
$y_n=1/n^2$ converge a zero, quindi fissato $(epsilon)/2>0$ esiste un $nu\inNN$ tale che
$1/n^2\nu$

Quindi per la dis. triangolare possiamo scrivere
$|1/n^2-1/m^2|<=|1/n^2|+|-1/m^2|=$

La disuguaglianza che ottieni dal fatto che $1/(n^2)$ tende a zero la si può facilmente ottenere così:

- essendo $epsilon > 0$, per Archimede c'è $n$ t.c. $1/n < epsilon$
- poi $1/m < 1/n$ se $m>n$ (compatibilità del ">" con l'operazione di moltiplicazione) e $1/(n^2) < 1/n$ per ragioni simili.

Poi la disuguaglianza triangolare è molto ok...

Comunque, è sporca, rispetto al dubbio di Sergio:
"Ma se io "non sapessi" che la successione converge? Se volessi "solo" dimostrare che è di Cauchy?"
E, però, la mia risposta al suo dubbio è: trovala, una successione così. Queste cose non spuntano fuori come noccioline. Esempi semplici in cui fanno capolino sono le dim dei teoremi (pensa a quello delle contrazioni).

[salvozungri]

"Sergio":@Mathematico: Visto che vale per ogni $m$, vale anche per $m=n+1000$, $m=n+1000000$, $m=n+1000000000$ ecc. Perché scegliere $m=n+1$ per risolvere la disequazione?

Mi spiace il mio suggerimento porta a bruttissime strade, piene di burroni, anzi no... è proprio sbagliato

Stavo pensando che esiste una successione che soddisfa la "proprietà" scritta da me, ma non è di Cauchy. Infatti ho preso come esempio una semplicissima successione:

$a_n= \sum_{k=1}^n 1/k$

${a_n}_{n\in\mathbb{N}}$ è una successione crescente di numeri reali

Per ogni $\epsilon>0$ esiste $N_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n>N_{\epsilon}$ $|a_{n+1}-a_{n}|= 1/(n+1)<\epsilon$, basterebbe prendere infatti $N_{\epsilon}= [1/\epsilon]$. Ora se la successione fosse di Cauchy allora dovrebbe convergere in $\mathbb{R}$ ma così non è.

Scusami tanto
[size=75]Mi sono reso conto dell'immensa scemenza quando stavo sguazzando in acqua, a mare[/size]

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":
@Fioravante: "E, però, la mia risposta al suo dubbio è: trovala, una successione così". Non potrebbe andare quella proposta da Martino? La sua mi è sembrata (tanto per cambiare...) un'osservazione molto interessante, e mi piace molto l'idea di successioni di Cauchy che convergono in un "sovraspazio".

Mi dilungo un po' di più, per cercare di rendere più esplicito quello che volevo dire.

Tutto comincia dal fatto che Steven suggerisce di usare il fatto che la successione data è convergente, per provare che la successione è di Cauchy.

Mi pareva di aver capito che uno volesse una strada "pulita", che non usasse questa "scorciatoia".
Ho fatto vedere come si può dim direttamente che la successione data è di Cauchy.
Ma, ovviamente, essendo una successione di numeri reali, sappiamo bene che se è di Cauchy allora essa è per forza anche convergente...
Quindi è molto forte il rischio di trovarsi di fronte ad argomentazioni "spurie" (si usa il fatto che la successione è convergente, ma si dissimulano le tracce di questo fatto).

Quello che volevo dire è: è difficile trovarsi davvero di fronte ad una successione di cui non si sa se è convergente, ed essere interessati a provare direttamente che è di Cauchy. Non è roba che si incontra nella matematica "di tutti i giorni".

Non so se mi sono spiegato... Ho come l'impressione di essermi "incartato" con le parole!