Verifica affermazioni sull'immagine di una funzione

[davidcape1]

Consideriamo il sottoinsieme $ D=[(x,y)in R^2:abs(x-y)
$ f(x,y)=cos(abs(x-y))/(1+abs(x-y) $

Quali tra le seguenti affermazioni è giusta?

1)Esiste un $ (x,y)in D $ tale che f(x,y)<0?
Come rispondo a questa e come motivo la risposta?

2) $ 3/2in f(D) $ ?
Io per verificare questa porrei $ 3/2=cos(abs(x-y))/(1+abs(x-y) $ sarebbe giusto?

3)-1 è minorante di $ f(D) $?
Secondo me potrebbe essere minorante però non lo so con certezza assoluta..... Il mio ragionamento grossolano è che denominatore è sempre positivo pertanto posso anche non studiarlo no? Il numeratore è il coseno di una quantità sempre positiva quindi dato che il coseno è sempre limitato tra -1 e 1... è fantamatematica?

4)$ f(D) $ non è connessa.
Per verificare se è connessa o meno dovrei disegnare l'immagine giusto?
Come faccio analiticamente a disegnarla?

Siate clementi per favore l'ho lasciata ieri allo scritto. Sono passato con 21 ma in settimana nuova ho l'orale e potrebbero anche chiedermi qualcosa di simile. Grazie.

[Ziben]

Ciao

"davidcape":
1)Esiste un $ (x,y)in D $ tale che f(x,y)<0?
Come rispondo a questa e come motivo la risposta?

Studiando il segno della funzione come hai fatto al punto tre. Hai correttamente notato che il denominatore è sempre $>0$ dato che $|x-y| \geq 0$, pertanto può essere negativo solo il numeratore. Poiché è imposto che $|x-y| < pi/4$ allora $cos |x-y| > 0$ sempre e quindi la $f$ non è mai negativa

"davidcape":
2) $ 3/2in f(D) $ ?
Io per verificare questa porrei $ 3/2=cosabs(x-y)/(1+abs(x-y)) $ sarebbe giusto?

Si sarebbe giusto ma non so se ne vieni a capo. Notando come hai fatto al punto 3) che il $cos$ assume sempre valori in $[-1,1]$ e ricordando che il denominatore è sempre positivo:


$ f(x,y)=cos(abs(x-y))/(1+abs(x-y)) \leq 1/(1+abs(x-y)) \leq 1$

"davidcape":
3)-1 è minorante di $ f(D) $?

Hai già risposto

"davidcape":
4)$ f(D) $ non è connessa.

Qui le mie conoscenze ancora sono troppo superficiali ma nota che puoi scrivere
$t=|x-y|$ e studiare la funzione $g(t)=cost/(1+t)$ con $0 \leq t

Cita

Segnala

[davidcape1]

grazie mille per avermi risposto, scusate se insisto ma vorrei essere sicuro di avere capito bene come funziona dato che ho altri quesiti possibili su questa funzione e questo dominio.

5) $ Imm f(D)=-oo $ (credo di NO perchè la funzione non è mai negativa abbiamo detto giusto )
6) $ f $ è limitata (credo di si per quanto esposto sopra ovvero il coseno è una funzione limitata)
7) $ f (D) $ contiene una semiretta

Sul fatto che $ f (D) $ sia connessa o meno come faccio analiticamente a vederlo? Non capisco come viene questa immagine...

[Ziben]

$Immf(D) = -\infty$ ? Non capisco cosa intendi. forse $\Inf (f(D))=-\infty$
In questo caso allora la risposta è no. Inoltre sempre facendo riferimento a
$ t=|x-y| $ e $ g(t)=cost/(1+t) $ con $ 0 \leq t \leq pi/4$ la $g$ è continua (e limitata) sull'intervallo $I = [0, pi/4)$ e $g(I)=f(D)$ è un intervallo

[davidcape1]

quindi non può contenere una semiretta essendo limitato l'intervallo....

[Ziben]

bhe no, una semiretta non ci sta in un intervallo limitato